[2003年] 某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)，汽锤第一次击打将桩打进地下a(m)(m表示米)．根据设计方案，要求汽锤每次击打

admin2019-04-08 61

问题 [2003年] 某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)，汽锤第一次击打将桩打进地下a(m)(m表示米)．根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数r(0＜r＜1)，问：
汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?

选项

答案设第n次击打后，桩被打进地下x_n，第n次击打时，汽锤所做的功为W_n(n=1，2，…)．由题设知，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以 W₁=∫₀^x₁kxdx=[*] W₂=∫_x₁^x₂kxdx=[*] 由W₂=W₁可得x₂²一a²=ra²，即x₂²=(1+r)a²． W₃=∫_x₂^x₃kxdx=[*] 由W₃=rW₂=r²W₁可得x₃²一(1+r)a²=r²a²，即x₃=[*]，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下[*]．

解析

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考研数学一

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