[2003年] 某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)，汽锤第一次击打将桩打进地下a(m)(m表示米)．根据设计方案，要求汽锤每次击打

admin2019-04-08 41

问题 [2003年] 某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层．汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k＞0)，汽锤第一次击打将桩打进地下a(m)(m表示米)．根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数r(0＜r＜1)，问：
汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?

选项

答案设第n次击打后，桩被打进地下x_n，第n次击打时，汽锤所做的功为W_n(n=1，2，…)．由题设知，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以 W₁=∫₀^x₁kxdx=[*] W₂=∫_x₁^x₂kxdx=[*] 由W₂=W₁可得x₂²一a²=ra²，即x₂²=(1+r)a²． W₃=∫_x₂^x₃kxdx=[*] 由W₃=rW₂=r²W₁可得x₃²一(1+r)a²=r²a²，即x₃=[*]，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下[*]．

解析

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考研数学一

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考研数学一

设随机变量X服从参数为λ的指数分布，G(x)是区间[0，1]上均匀分布的分布函数，证明随机变量Y=G(X)的概率分布不是区间[0，1]上的均匀分布．

设随机变量X在[0，π]上服从均匀分布，求Y=sinX的密度函数．

求过直线且与点(1，2，1)的距离为l的平面方程．

设曲线L的极坐标方程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点，若极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0，M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程．

设f(x)在[a，b]有连续的导数，求证：．

设二元函数f(x，y)=|x－y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．

设an=A，证明：数列{an}有界．

设{un}，{cn}为正项数列，证明：(1)若对一切正整数n满足cnun－cn+1un+1≤0，且1／cn发散，则un也发散；(2)若对一切正整数n满足cn－cn+1≥a(a＞0)，且1／cn收敛，则cn也收敛．

设单位质点在水平面内作直线运动，初速度ν｜t=0=ν0，已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．

(2002年)设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)|x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起

下列关于最密切联系原则应用的说法中，不正确的是()

试排牙时发现，患者微笑时可见上前牙龈缘，口微闭时上前牙切缘位于唇下2mm，第二前磨牙近中面位于口角。此时应该

被审计单位作出了不恰当会计估计，但所涉及金额远远低于重要性水平。在不考虑其他因素的情况下，注册会计师应出具的审计报告类型是()。

(1)植物进行光合作用(2)阳光普照大地(3)煤炭自地下被开采出来(4)马达轰鸣、机器飞转(5)火电厂发电并网

下列情形符合法律规定的是()。

–Est-cequevouspouvezfairevotretoilettedansvotrechampe?--Non,maisnousavons___grandlavabo_bout___coul

Honeybeepopulationsdeclinedby13.6%overthewinter,accordingtoasurveyofbeekeepersacrossEngland.Lossesweremostsev

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设随机变量X在[0，π]上服从均匀分布，求Y=sinX的密度函数．

求过直线且与点(1，2，1)的距离为l的平面方程．

设曲线L的极坐标方程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点，若极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0，M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程．

设f(x)在[a，b]有连续的导数，求证：．

设二元函数f(x，y)=|x－y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．

设an=A，证明：数列{an}有界．

设{un}，{cn}为正项数列，证明：(1)若对一切正整数n满足cnun－cn+1un+1≤0，且1／cn发散，则un也发散；(2)若对一切正整数n满足cn－cn+1≥a(a＞0)，且1／cn收敛，则cn也收敛．

设单位质点在水平面内作直线运动，初速度ν｜t=0=ν0，已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．

(2002年)设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D={(x，y)|x2+y2一xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75一x2一y2+xy现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起

下列关于最密切联系原则应用的说法中，不正确的是()

试排牙时发现，患者微笑时可见上前牙龈缘，口微闭时上前牙切缘位于唇下2mm，第二前磨牙近中面位于口角。此时应该

被审计单位作出了不恰当会计估计，但所涉及金额远远低于重要性水平。在不考虑其他因素的情况下，注册会计师应出具的审计报告类型是()。

(1)植物进行光合作用(2)阳光普照大地(3)煤炭自地下被开采出来(4)马达轰鸣、机器飞转(5)火电厂发电并网

下列情形符合法律规定的是()。

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