求函数f(x，y)=x2+2y2一x2y2在区域D={(x，y)|x2+y2≤4，y≥0)上的最大值与最小值．

admin2018-09-20 30

问题求函数f(x，y)=x²+2y²一x²y²在区域D={(x，y)|x²+y²≤4，y≥0)上的最大值与最小值．

选项

答案先求f(x，y)在D内部的驻点．由 f_x’(x，y)=2x一2xy²=0，f_y’(x，y)=4y一2x²y=0，解得x=0或y=±1；[*]或y=0．经配对之后，位于区域D内部的点为[*] 经计算，有 [*] 再考虑区域D边界上的f(x，y)．在y=0上，f(x，0)=x²，最大值f(2，0)=4，最小值f(0，0)=0．又在x²+y²=4(y＞0)上，[*]=x²+2(4一x²)一x²(4一x²)=x⁴一5x²+8[*]g(x)(一2＜x＜2)．令g’(x)=4x³一10x=0，得x=0或[*]．比较所得函数值的大小，有 [*]

解析

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