2. 考研
  3. 设a为常数，讨论两曲线y＝ex与y＝的公共点的个数及相应的a的取值范围．

设a为常数，讨论两曲线y＝ex与y＝的公共点的个数及相应的a的取值范围．

admin2022-10-09  36
问题 设a为常数，讨论两曲线y＝ex与y＝的公共点的个数及相应的a的取值范围．
选项
答案若a＝0，则易知y＝ex与y＝0无公共点，以下设a≠0．讨论y＝ex与y＝[*]交点的个数，等同于讨论方程ex＝[*]的根的个数，亦即等同于讨论函数 f(x)＝xex－a 的零点个数． f’(x)＝(x﹢1)ex[*]0， 得唯一驻点x0＝－1．当x<－1时，f’(x)＜0；当x>－1时，f’(x)﹥0．所以 minf(x)＝f(－1)＝－e－1－a． 又 f(－∞)＝[*]f(x)＝－a， f(﹢∞)＝[*]f(x)＝﹢∞． ①设－e－1－a﹥0，即设a<－e－1，则minf(x)>0，f(x)无零点； ②设－e－1－a＝0，即设a＝－e－1，则f(x)有唯一零点x0＝－1； ③设－e－1－a﹤0，即设a>－e－1．又分两种情形： (i)设－e－1﹤a﹤0，则有f(－∞)＝－a﹥0，f(－1)＝－e－1－a﹤0，f(﹢∞)>0．而在区间 (－∞，－1)内f(x)单调减少，在区间(－1，﹢∞)内f(x)单调增加，故f(x)有且仅有两个零点； (ii)设a﹥0．易知f(x)＝xex－a在区间(－∞，0]内无零点，而在区间(0，﹢∞)内，f(0﹢)＝－a﹤0． f(﹢∞)＝﹢∞，f’(x)＝(x﹢1)ex﹥0，所以f(x)在区间(0，﹢∞)内刚好有1个零点．讨论完毕． 综上，有结论： 当a<－e－1或a＝0时，无交点；当a＝－e－1时，有唯一交点(切点)；当－e－1﹤a﹤0时，有两个交点；当a>0时，在区间(－∞，0]内无交点，而在区间(0，﹢∞)内，即第一象限内有唯一交点．
解析
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考研数学二

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