(Ⅰ)验证函数y(x)=(一∞＜x＜+∞)满足微分方程y″+y′+y=ex： (Ⅱ)求幂级数y(x)=的和函数。

admin2018-12-29 45

问题 (Ⅰ)验证函数y(x)=

(一∞＜x＜+∞)满足微分方程y″+y′+y=e^x：
(Ⅱ)求幂级数y(x)=

的和函数。

选项

答案(Ⅰ)幂级数 [*] 的收敛域是R，因而可在R上逐项求导数，得 [*] 所以y″+y′+y=1+x+[*]+… =e^x(一∞＜x＜+∞)。 (Ⅱ)与y″+y′+y=e^x对应的齐次微分方程为y″+y′+y=0，其特征方程为λ²+λ+1=0，特征根为λ_1、2=[*]，所以齐次微分方程的通解为y=[*]。设非齐次微分方程的特解为y^*=Ae^x,将y^*代入方程y″+y′+y=e^x可得[*]，因此，方程通解为 [*] 所以幂级数[*]的和函数为y(x)=[*]，一∞＜x＜+∞。

解析

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考研数学一

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