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(Ⅰ)验证函数y(x)=(一∞<x<+∞)满足微分方程y″+y′+y=ex: (Ⅱ)求幂级数y(x)=的和函数。
(Ⅰ)验证函数y(x)=(一∞<x<+∞)满足微分方程y″+y′+y=ex: (Ⅱ)求幂级数y(x)=的和函数。
admin
2018-12-29
48
问题
(Ⅰ)验证函数y(x)=
(一∞<x<+∞)满足微分方程y″+y′+y=e
x
:
(Ⅱ)求幂级数y(x)=
的和函数。
选项
答案
(Ⅰ)幂级数 [*] 的收敛域是R,因而可在R上逐项求导数,得 [*] 所以y″+y′+y=1+x+[*]+… =e
x
(一∞<x<+∞)。 (Ⅱ)与y″+y′+y=e
x
对应的齐次微分方程为y″+y′+y=0,其特征方程为λ
2
+λ+1=0,特征根为λ
1、2
=[*],所以齐次微分方程的通解为y=[*]。 设非齐次微分方程的特解为y
*
=Ae
x
,将y
*
代入方程y″+y′+y=e
x
可得[*],因此,方程通解为 [*] 所以幂级数[*]的和函数为y(x)=[*],一∞<x<+∞。
解析
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考研数学一
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