设f(x)在[0,π]上连续,且证明f(x)在(0,π)内至少有两个零点。

admin2019-05-14  31

问题 设f(x)在[0,π]上连续,且证明f(x)在(0,π)内至少有两个零点。

选项

答案令[*]F(0)=F(π)=0,由罗尔定理,存在一点θ0∈(0,π),使得F’(θ0)=0,而F"(x)=f(x)sinx,且sinθ0≠0,所以f(θ0)=0。 假设f(x)在(0,π)内除θ0外没有零点,则f(x)在(0,θ0)与(θ0,π)内异号。 不妨设当x∈(0,θ0)时,f(x)<0;当x∈(θ0,π)时,f(x)>0,则 [*] 因为当x∈[0,θ0]时,f(x)sin(x-θ0)连续,f(x)sin(x-θ0)≥0且f(x)sin(x-θ0)不恒等于零,所以[*]同理[*]所以[*] 而[*] 与假设矛盾,故f(x)在(0,π)内至少有两个零点。

解析
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