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设f(x)在[0,π]上连续,且证明f(x)在(0,π)内至少有两个零点。
设f(x)在[0,π]上连续,且证明f(x)在(0,π)内至少有两个零点。
admin
2019-05-14
27
问题
设f(x)在[0,π]上连续,且
证明f(x)在(0,π)内至少有两个零点。
选项
答案
令[*]F(0)=F(π)=0,由罗尔定理,存在一点θ
0
∈(0,π),使得F’(θ
0
)=0,而F"(x)=f(x)sinx,且sinθ
0
≠0,所以f(θ
0
)=0。 假设f(x)在(0,π)内除θ
0
外没有零点,则f(x)在(0,θ
0
)与(θ
0
,π)内异号。 不妨设当x∈(0,θ
0
)时,f(x)<0;当x∈(θ
0
,π)时,f(x)>0,则 [*] 因为当x∈[0,θ
0
]时,f(x)sin(x-θ
0
)连续,f(x)sin(x-θ
0
)≥0且f(x)sin(x-θ
0
)不恒等于零,所以[*]同理[*]所以[*] 而[*] 与假设矛盾,故f(x)在(0,π)内至少有两个零点。
解析
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考研数学一
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