设xOy平面第一象限中有曲线，Γ：y=y(x)，过点A(0，－1)，y’ (x)>0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为－1． (Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程； (Ⅱ)导出y(x

admin2020-01-15 30

问题设xOy平面第一象限中有曲线，Γ：y=y(x)，过点A(0，

－1)，y’ (x)>0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段

的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为

－1．
(Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程；
(Ⅱ)导出y(x)满足的微分方程和初始条件；
(Ⅲ)求曲线Γ的表达式．

选项

答案(Ⅰ)先求出Γ在点M(x，y)处的切线方程 Y－y(x)=y’(x)(X－x)，其中(X，Y)是切线上点的坐标．在切线方程中令Y=0，得x轴上的截距 [*] 这是y(x)满足的积分、微分方程． (Ⅱ)两边对x求导，就可转化为二阶微分方程： [*] 又由条件及①式中令x=0得 y(0)=[*]－1， y’(0)=1．因此得y(x)满足的二阶微分方程的初值问题 [*] 问题①与②是等价的． (Ⅲ)下面求解②．这是不显含x的二阶方程，作变换p=y’，并以y为自变量得 [*]

解析

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考研数学一

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设xOy平面第一象限中有曲线，Γ：y=y(x)，过点A(0，－1)，y’ (x)>0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为－1． (Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程； (Ⅱ)导出y(x

考研数学一

设函数y＝f(x)存在二阶导数，且f＇(x)≠0．(Ⅰ)请用y＝f(x)的反函数的一阶导数、二阶导数表示及；(Ⅱ)求满足微分方程(*)的x与y所表示的关系式的曲线，它经过点(1，0)，且在此点处的切线斜率为1／2，在此曲线上任意点处的

函数f(x，y)＝3＋9x－6y＋4x2－5y2＋2xy＋x3＋2xy2－y3在点(1，－1)展开至n＝2的泰勒公式为f(x，y)＝＋R2，其中拉格朗日余项R2＝_．

设向量场A＝(x2z，xy2，yz2)，在点P(2，2，1)处沿方向l＝(2，2，1)，则＝，＝__．

设A，B，C，D是四个4阶矩阵，其中A，D为非零矩阵，B，C可逆，且满足ABCD＝O，若r(A)＋r(B)＋r(C)＋r(D)＝r，则r的取值范围是()

yOz平面上的曲线，绕z轴旋转一周与平面z＝1，z＝4围成一旋转体Ω，设该物体的点密度μ＝r2，其中r为该点至旋转轴的距离，求该物体的质心的坐标．

设常数a＞0，曲线上点(a，a，a)处的切线方程是__________．

设S为球面x2＋y2＋z2＝R2(常数R＞0)的上半部分，方向为上侧．则下述对坐标的曲面积分(即第二型曲面积分)不为零的是()

已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e-t，y=2t+e-2t(t≥0)．证明该参数方程确定连续函数y=y(x)，x∈[1，+∞).

幂级数的和函数为_________

公共政策问题的边界分析包括的步骤有()

由滤泡上皮细胞发生的甲状腺肿瘤包括

阳水水湿浸渍证的治法是

根据《处方管理办法》，医疗机构麻醉药品和第一类精神药品的调剂需要的人员是

我国会计法律制度中，会计规章的法律效力仅次于会计法律。()

增值税暂行条例中规定，不属于应视同销售货物行为征收增值税的是()。

Mydreamschoolstartsat8:30a.m.andendsat3:30p.m.Theyarethreelessonsinthemorningandtwointheafternoon.We

竹子：筷子：吃饭

WilliamHazlittwasfamousforhisliterarycriticismon______.

设xOy平面第一象限中有曲线，Γ：y=y(x)，过点A(0，－1)，y’ (x)>0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段 的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为－1． (Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程； (Ⅱ)导出y(x

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函数f(x，y)＝3＋9x－6y＋4x2－5y2＋2xy＋x3＋2xy2－y3在点(1，－1)展开至n＝2的泰勒公式为f(x，y)＝________＋R2，其中拉格朗日余项R2＝_________．

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函数f(x，y)＝3＋9x－6y＋4x2－5y2＋2xy＋x3＋2xy2－y3在点(1，－1)展开至n＝2的泰勒公式为f(x，y)＝＋R2，其中拉格朗日余项R2＝_．

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