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[2001年] 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 证明至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ).
[2001年] 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足 证明至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1-ξ-1)f(ξ).
admin
2019-03-30
58
问题
[2001年] 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足
证明至少存在一点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=(1-ξ
-1
)f(ξ).
选项
答案
证一 将ξ换为x,待证等式化为 f’(x)-(1-1/x)f(x)=0, f’(x)-(x-lnx)’f(x)=0, e
-(x-lnx)
f’(x)-e
-(x-lnx)
(x-lnx)’f(x)=0, e
-(x-lnx)
f’(x)+[e
-(x-lnx)
]’f(x)=[e
-(x-lnx)
f(x)]’=0, 则应构造的辅助函数为 F(x)=e
-(x-lnx)
f(x)=xe
-x
f(x). 下用罗尔定理证明中值等式.由积分中值定理知,至少存在一点ξ
1
∈[0,1/k][*][0,1],使 [*] 即1·e
-1
f(1)=ξ
1
e
ξ
1
f(ξ
1
),亦即F(1)=F(ξ
1
).又F(x)在[ξ
1
,1]上满足罗尔定理的其他条件,故由罗尔定理知,至少存在一点ξ∈(ξ
1
,1)[*](0,1),使 F’(ξ)=0, 即 e
1-ξ
[f(ξ)-ξf(ξ)+ξf’(ξ)]=0, 亦即 f’(ξ)=(1-ξ
-1
)f(ξ). 证二 用积分法求出辅助函数.视f’(x)=(1-1/x)f(x)为f(x)所满足的齐次微分方程,由其通解公式得到 [*] 因而F(x)=xe
-x
f(x).下同解一略. 证三 由题设[*]首先想到使用积分中值定理.由该定理知,至少存在一点ξ∈[0,1/k][*][0,1],使 [*] 如果构造辅助函数F(x)=xe
1-x
f(x),则F(1)=1·e
0
f(1)=f(1),即 F(1)=f(1)=ξ
1
e
1-ξ
1
f(ξ
1
)=F(ξ
1
). 又F(x)在[ξ
1
,1]上连续,在(ξ
1
,1)内可导,于是由罗尔定理知,存在一点ξ∈(ξ
1
,1)[*](0,1),使 F’(ξ)=e
1-ξ
[f(ξ)-ξf(ξ)+ξf’(ξ)]=0, 即 f’(ξ)=(1-ξ
-1
)f(ξ), ξ∈(0,1).
解析
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考研数学三
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