2. 考研
  3. [2001年] 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足 证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=(1－ξ-1)f(ξ)．

[2001年] 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足 证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=(1－ξ-1)f(ξ)．

admin2019-03-30  57
问题 [2001年]  设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足
         
证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=(1－ξ-1)f(ξ)．
选项
答案证一 将ξ换为x，待证等式化为 f’(x)－(1－1／x)f(x)=0， f’(x)－(x－lnx)’f(x)=0， e－(x－lnx)f’(x)－e－(x－lnx)(x－lnx)’f(x)=0， e－(x-lnx)f’(x)+[e－(x－lnx)]’f(x)=[e－(x－lnx)f(x)]’=0， 则应构造的辅助函数为 F(x)=e－(x－lnx)f(x)=xe－xf(x)． 下用罗尔定理证明中值等式．由积分中值定理知，至少存在一点ξ1∈[0，1／k][*][0，1]，使 [*] 即1·e－1f(1)=ξ1eξ1f(ξ1)，亦即F(1)=F(ξ1)．又F(x)在[ξ1，1]上满足罗尔定理的其他条件，故由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈(ξ1，1)[*](0，1)，使 F’(ξ)=0， 即 e1－ξ[f(ξ)－ξf(ξ)+ξf’(ξ)]=0， 亦即 f’(ξ)=(1－ξ－1)f(ξ)． 证二 用积分法求出辅助函数．视f’(x)=(1－1／x)f(x)为f(x)所满足的齐次微分方程，由其通解公式得到 [*] 因而F(x)=xe－xf(x)．下同解一略. 证三 由题设[*]首先想到使用积分中值定理．由该定理知，至少存在一点ξ∈[0，1／k][*][0，1]，使 [*] 如果构造辅助函数F(x)=xe1－xf(x)，则F(1)=1·e0f(1)=f(1)，即 F(1)=f(1)=ξ1e1－ξ1f(ξ1)=F(ξ1)． 又F(x)在[ξ1，1]上连续，在(ξ1，1)内可导，于是由罗尔定理知，存在一点ξ∈(ξ1，1)[*](0，1)，使 F’(ξ)=e1－ξ[f(ξ)－ξf(ξ)+ξf’(ξ)]=0， 即 f’(ξ)=(1－ξ－1)f(ξ)， ξ∈(0，1)．
解析
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考研数学三

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