[2001年] 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=(1－ξ-1)f(ξ)．

admin2019-03-30 37

问题 [2001年] 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足

证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=(1－ξ^-1)f(ξ)．

选项

答案证一将ξ换为x，待证等式化为 f’(x)－(1－1／x)f(x)=0， f’(x)－(x－lnx)’f(x)=0， e^－(x－lnx)f’(x)－e^－(x－lnx)(x－lnx)’f(x)=0， e^－(x-lnx)f’(x)+[e^－(x－lnx)]’f(x)=[e^－(x－lnx)f(x)]’=0，则应构造的辅助函数为 F(x)=e^－(x－lnx)f(x)=xe^－xf(x)．下用罗尔定理证明中值等式．由积分中值定理知，至少存在一点ξ₁∈[0，1／k][*][0，1]，使 [*] 即1·e^－1f(1)=ξ₁e^ξ₁f(ξ₁)，亦即F(1)=F(ξ₁)．又F(x)在[ξ₁，1]上满足罗尔定理的其他条件，故由罗尔定理知，至少存在一点ξ∈(ξ₁，1)[*](0，1)，使 F’(ξ)=0，即 e^1－ξ[f(ξ)－ξf(ξ)+ξf’(ξ)]=0，亦即 f’(ξ)=(1－ξ^－1)f(ξ)．证二用积分法求出辅助函数．视f’(x)=(1－1／x)f(x)为f(x)所满足的齐次微分方程，由其通解公式得到 [*] 因而F(x)=xe^－xf(x)．下同解一略. 证三由题设[*]首先想到使用积分中值定理．由该定理知，至少存在一点ξ∈[0，1／k][*][0，1]，使 [*] 如果构造辅助函数F(x)=xe^1－xf(x)，则F(1)=1·e⁰f(1)=f(1)，即 F(1)=f(1)=ξ₁e^1－ξ₁f(ξ₁)=F(ξ₁)．又F(x)在[ξ₁，1]上连续，在(ξ₁，1)内可导，于是由罗尔定理知，存在一点ξ∈(ξ₁，1)[*](0，1)，使 F’(ξ)=e^1－ξ[f(ξ)－ξf(ξ)+ξf’(ξ)]=0，即 f’(ξ)=(1－ξ^－1)f(ξ)， ξ∈(0，1)．

解析

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考研数学三

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[2001年] 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且满足证明至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=(1－ξ-1)f(ξ)．

考研数学三

设f（x，y）连续，且f（x，y）=x+f（u，υ）dudυ，其中D是由y=，x=1，y=2所围成的区域，则f（x，y）=________。

设n阶矩阵A的伴随矩阵为A，证明：（Ⅰ）若|A|=0，则|A|=0；（Ⅱ）|A*|=|A|n—1。

η是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：（Ⅰ）η，ξ1，…，ξn—r线性无关；（Ⅱ）η，η+ξ1，…，η*+ξn—r线性无关。

设f(x，y)＝，讨论函数f(x，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性．

设f(x)在区间[a，b]上阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx＝(b－a)ff’’(ξ)．

设曲线y＝a＋x－x3，其中a＜0．当x＞0时，该曲线在x轴下方与y轴、x轴所围成图形的面积和在x轴上方与x轴所围成图形的面积相等，求a．

设y＝y(x，z)是由方程ex＋y＋z＝x2＋y2＋z2确定的隐函数，则＝______．

平面曲线L：绕x轴旋转所得曲面为s，求曲面D的内接长方体的最大体积．

设二阶常系数非齐次线性微分方程y’’＋y’＋qy＝Q(x)有特解y＝3e－4x＋x2＋3x＋2，则Q(x)＝，该微分方程的通解为．

设线性方程组A3×3X=b有唯一解ξ1=(1，一1，2)T，α是3维列向量，方程(A┆α)X=b有特解η1=(1，一2，1，3)T，则方程组(A┆α)X=b的通解是___________．

在中国革命过程中，具有新民主主义革命和社会主义革命双重性质的事件是()。

确定常住单位的基本标志是()

“_______”，即一种“文明系统”，系统中的诸多国家享有基本共同的传统文化属性、文化特征，但它并不排斥现代性下的普适性和多元性；在强调同质性的同时，并不否认异质性。

Thesyntheticvitaminsareidentical______thosenaturallypresentinourfood.

当前进行城市地下空间资源开发与利用的重点是()。

监理单位承揽到监理业务后，应当由项目监理机构相继编写的监理工作文件是(　　)。

施工现场固体废物的处理方法主要有(　)。

我国古代对文学活动中作者这一基本要素不重视，无名氏的作品很多。()

设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"-y’+2=0．当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．

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