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设A是m×n阶实矩阵,证明:(1)r(ATA)=r(A);(2)ATAX=ATb一定有解.
设A是m×n阶实矩阵,证明:(1)r(ATA)=r(A);(2)ATAX=ATb一定有解.
admin
2021-11-09
63
问题
设A是m×n阶实矩阵,证明:(1)r(A
T
A)=r(A);(2)A
T
AX=A
T
b一定有解.
选项
答案
(1)设r(A)=r
1
,r(A
T
A)=r
2
,由于AX=0的解都满足(A
T
A)X=A
T
(AX)=0,故AX=0的基础解系(含n一r
1
个无关解)含于A
T
AX=0的某个基础解系(含n一r
2
个无关解)之中,所以 n一r
1
≤n一r
2
, 故有r
2
≤r
1
,即r(A
T
A)≤r(A). ① 又当A
T
AX=0时(X为实向量),必有X
T
A
T
AX=0,即(AX)
T
AX=0,设AX=[b
1
,b
2
,…,b
m
]
T
,则(AX)
T
(AX)=[*]=0,必有b
1
=b
2
=…=b
m
=0,即AX=0,故方程组A
T
AX=0的解必满足方程组AX=0,从而有 n-r(A
T
A)≤n-(A), r(A)≤r(A
T
A). ② 由①,②得证r(A)=r(A
T
A). (2)A
T
AX=A
T
b有解,r(A
T
A)=r(A
T
A|A
T
b). 由(1)知r(A)=r(A
T
)=r(A
T
A),将A
T
,A
T
A=B以列分块,且B=A
T
A的每个列向量均可由A
T
的列向量线性表出,故A
T
和B=A
T
A的列向量组是等价向量组,A
T
b是A
T
的列向量组的某个线性组合,从而r(A
T
)=r(A
T
|A
T
b)=r(A
T
A|A
T
b),故 r(A
T
A)=r(A
T
)=r(A
T
|A
T
b)=r(A
T
A|A
T
b),故(A
T
A)X=A
T
b有解.
解析
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