首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A是m×n阶实矩阵,证明:(1)r(ATA)=r(A);(2)ATAX=ATb一定有解.
设A是m×n阶实矩阵,证明:(1)r(ATA)=r(A);(2)ATAX=ATb一定有解.
admin
2021-11-09
71
问题
设A是m×n阶实矩阵,证明:(1)r(A
T
A)=r(A);(2)A
T
AX=A
T
b一定有解.
选项
答案
(1)设r(A)=r
1
,r(A
T
A)=r
2
,由于AX=0的解都满足(A
T
A)X=A
T
(AX)=0,故AX=0的基础解系(含n一r
1
个无关解)含于A
T
AX=0的某个基础解系(含n一r
2
个无关解)之中,所以 n一r
1
≤n一r
2
, 故有r
2
≤r
1
,即r(A
T
A)≤r(A). ① 又当A
T
AX=0时(X为实向量),必有X
T
A
T
AX=0,即(AX)
T
AX=0,设AX=[b
1
,b
2
,…,b
m
]
T
,则(AX)
T
(AX)=[*]=0,必有b
1
=b
2
=…=b
m
=0,即AX=0,故方程组A
T
AX=0的解必满足方程组AX=0,从而有 n-r(A
T
A)≤n-(A), r(A)≤r(A
T
A). ② 由①,②得证r(A)=r(A
T
A). (2)A
T
AX=A
T
b有解,r(A
T
A)=r(A
T
A|A
T
b). 由(1)知r(A)=r(A
T
)=r(A
T
A),将A
T
,A
T
A=B以列分块,且B=A
T
A的每个列向量均可由A
T
的列向量线性表出,故A
T
和B=A
T
A的列向量组是等价向量组,A
T
b是A
T
的列向量组的某个线性组合,从而r(A
T
)=r(A
T
|A
T
b)=r(A
T
A|A
T
b),故 r(A
T
A)=r(A
T
)=r(A
T
|A
T
b)=r(A
T
A|A
T
b),故(A
T
A)X=A
T
b有解.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/suy4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设φ(χ)=∫0χ(χ-t)2f(t)dt,求φ″′(χ),其中f(χ)为连续函数.
讨论函数f(χ)=(χ>0)的连续性.
设a1=4,an+1=,证明:an存在,并求此极限.
设=b,其中a,b为常数,则().
用配方法化二次型f(χ1,χ2,χ3)=χ12+χ2χ3为标准二次型.
半径为2的球体盛满水,求将水从球顶部全部抽出所做的功.
设一抛物线y=aχ2+bχ+c过点(0,0)与(1,2),且a<0,确定a,b,c,使得抛物线与χ轴所围图形的面积最小.
一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比,比例系数为k>0,设融化过程中形状不变,设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的,求全部融化需要的时间.
求微分方程y〞+4y′+4y=0的通解.
设函数f(x)=则曲线y=f(x)在点(1,0)处的曲率半径等于________.
随机试题
A.小便点滴不爽,排出无力,面色咣白,神气怯弱,畏寒肢冷,腰膝疲软,舌淡苔白,脉沉细弱B.小腹坠胀,时欲小便而不得出,精神疲乏,食欲不振,气短声低,舌淡,脉虚弱C.小便淋沥不已,时作时止,遇劳即发,神疲乏力,腰膝酸软,舌质淡,脉细弱D.小腹坠胀,尿有
设z=z(x,y)由方程exz-xy+cos(y2+z2)=0确定,求dz。
患者,男,20岁。1日前左上中切牙外伤。检查患牙冠折露髓,叩痛(+),不松动,冷测一过性敏感,X线片检查未见根折。治疗应为()。
抵押人对抵押物价值减少无过错的,抵押权人只能在抵押人因损害而得到的赔偿范围内要求提供担保。()
作为排除地下水设施之一的渗井,其井壁和填充料之间应设置( )。
企业购进材料验收入库时,由仓库保管人员填制的收料单是自制的一次凭证。()
2009年成立的某建筑公司,涉及印花税的业务如下:(1)注册资本1000万元,资本公积200万元。公司当年启用设置账簿18本,其中包括实收资本、资本公积账簿各1本;(2)当年领受土地使用证正副本、营业执照正副本、税务登记证正副本、卫生许可证
“勿以恶小而为之,勿以善小而不为”这所揭示的哲学原理是()。
Writeanessayof160-200wordsbasedonthefollowingdrawing.Inyouressay,youshould1)describethedrawingbriefly,
Whichofthefollowingquestionsdoesthepassageprimarilyanswer?Theauthorusestheword"Hence"inline16toindicate
最新回复
(
0
)