设f(x)是周期为1的周期函数,在[0,1]上可导,且f(1)=0,记 证明:存在一点η∈(1,2),使得|f’(η)|≥2M。

admin2021-12-14  34

问题 设f(x)是周期为1的周期函数,在[0,1]上可导,且f(1)=0,记
证明:存在一点η∈(1,2),使得|f’(η)|≥2M。

选项

答案由f(x)在[0,1]上可导,可知|f(x)|在[0,1]上连续,又由f(1)=f(0)=0,且M=max{|f(x)|}>0,知|f(x)|的最大值在(0,1)内取得,记|f(x0)|=M,x0∈(0,1),则在(0,x0)与(x0,1)内对f(x)应用拉格朗日中值定理,有f’(ξ1)x0=±M-0,f’(ξ2)(1-x0)-0±M,上面两式分别取绝对值后,相加,得2M=|f’(ξ1)x0|+|f’(ξ2)(1-x0)|,令|f’(ξ0)|=max{|f’(ξ1)|,|f’(ξ2)|},则ξ0∈(0,1),且|f’(ξ0)|≥2M,又由f(x)以1为周期,可知f’(x)也以1为周期。故存在一点η=1+ξ0∈(1,2),使得|f’(η)|≥2M。

解析
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