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设f(x)是周期为1的周期函数,在[0,1]上可导,且f(1)=0,记 证明:存在一点η∈(1,2),使得|f’(η)|≥2M。
设f(x)是周期为1的周期函数,在[0,1]上可导,且f(1)=0,记 证明:存在一点η∈(1,2),使得|f’(η)|≥2M。
admin
2021-12-14
23
问题
设f(x)是周期为1的周期函数,在[0,1]上可导,且f(1)=0,记
证明:存在一点η∈(1,2),使得|f’(η)|≥2M。
选项
答案
由f(x)在[0,1]上可导,可知|f(x)|在[0,1]上连续,又由f(1)=f(0)=0,且M=max{|f(x)|}>0,知|f(x)|的最大值在(0,1)内取得,记|f(x
0
)|=M,x
0
∈(0,1),则在(0,x
0
)与(x
0
,1)内对f(x)应用拉格朗日中值定理,有f’(ξ
1
)x
0
=±M-0,f’(ξ
2
)(1-x
0
)-0±M,上面两式分别取绝对值后,相加,得2M=|f’(ξ
1
)x
0
|+|f’(ξ
2
)(1-x
0
)|,令|f’(ξ
0
)|=max{|f’(ξ
1
)|,|f’(ξ
2
)|},则ξ
0
∈(0,1),且|f’(ξ
0
)|≥2M,又由f(x)以1为周期,可知f’(x)也以1为周期。故存在一点η=1+ξ
0
∈(1,2),使得|f’(η)|≥2M。
解析
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考研数学二
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