2. 考研
  3. 设f(x)是周期为1的周期函数，在[0，1]上可导，且f(1)=0，记 证明：存在一点η∈(1，2)，使得｜f’(η)｜≥2M。

设f(x)是周期为1的周期函数，在[0，1]上可导，且f(1)=0，记 证明：存在一点η∈(1，2)，使得｜f’(η)｜≥2M。

admin2021-12-14  23
问题 设f(x)是周期为1的周期函数，在[0，1]上可导，且f(1)=0，记
证明：存在一点η∈(1，2)，使得｜f’(η)｜≥2M。
选项
答案由f(x)在[0，1]上可导，可知｜f(x)｜在[0，1]上连续，又由f(1)=f(0)=0，且M=max{｜f(x)｜}＞0，知｜f(x)｜的最大值在(0，1)内取得，记｜f(x0)｜=M，x0∈(0，1)，则在(0，x0)与(x0，1)内对f(x)应用拉格朗日中值定理，有f’(ξ1)x0=±M-0，f’(ξ2)(1-x0)-0±M，上面两式分别取绝对值后，相加，得2M=｜f’(ξ1)x0｜+｜f’(ξ2)(1-x0)｜，令｜f’(ξ0)｜=max{｜f’(ξ1)｜，｜f’(ξ2)｜}，则ξ0∈(0，1)，且｜f’(ξ0)｜≥2M，又由f(x)以1为周期，可知f’(x)也以1为周期。故存在一点η=1+ξ0∈(1，2)，使得｜f’(η)｜≥2M。
解析
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考研数学二

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