设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ1，ξ2，ξ3，令β=ξ1+ξ2+ξ3．证明：向量组β，Aβ，A2β线性无关．

admin2018-07-23 77

问题设A是3阶矩阵，λ₁，λ₂，λ₃是A的3个不同的特征值，对应的特征向量分别是ξ₁，ξ₂，ξ₃，令β=ξ₁+ξ₂+ξ₃．
证明：
向量组β，Aβ，A²β线性无关．

选项

答案用秩来证，因 (β，Aβ，A²β)=( ξ₁+ξ₂+ξ₃，λ₁ξ₁+λ₂ξ₂+λ₃ξ₃，λ₁²ξ₁+λ₂²ξ₂+λ₃²ξ₃) [*] 所以C是可逆矩阵．故r(β，Aβ，A²β)=r(ξ₁，ξ₂，ξ₃)=3．因此β，Aβ，A²β线性无关．(请读者用等价向量组或初等变换自行证明)．

解析

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考研数学二

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