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设A是3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的3个不同的特征值,对应的特征向量分别是ξ1,ξ2,ξ3,令β=ξ1+ξ2+ξ3. 证明: 向量组β,Aβ,A2β线性无关.
设A是3阶矩阵,λ1,λ2,λ3是A的3个不同的特征值,对应的特征向量分别是ξ1,ξ2,ξ3,令β=ξ1+ξ2+ξ3. 证明: 向量组β,Aβ,A2β线性无关.
admin
2018-07-23
62
问题
设A是3阶矩阵,λ
1
,λ
2
,λ
3
是A的3个不同的特征值,对应的特征向量分别是ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
,令β=ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
.
证明:
向量组β,Aβ,A
2
β线性无关.
选项
答案
用秩来证,因 (β,Aβ,A
2
β)=( ξ
1
+ξ
2
+ξ
3
,λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
,λ
1
2
ξ
1
+λ
2
2
ξ
2
+λ
3
2
ξ
3
) [*] 所以C是可逆矩阵. 故r(β,Aβ,A
2
β)=r(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=3.因此β,Aβ,A
2
β线性无关.(请读者用等价向量组或初等变换自行证明).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/szj4777K
0
考研数学二
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[*]
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