设αi=(ai1，ai2，…，aim)T(i=1，2，…．r；r＜n)是n维实向量，且α1，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，…，αR，β的线性相关性．

admin2016-04-11 64

问题设α_i=(a_i1，a_i2，…，a_im)^T(i=1，2，…．r；r＜n)是n维实向量，且α₁，…，α_r线性无关．已知β=(b₁，b₂，…，b_n)^T是线性方程组

的非零解向量，试判断向量组α₁，…，α_R，β的线性相关性．

选项

答案线性无关，证明如下：由题设条件有β^Tα_i=0(i=1，2，…，r)．设k₁α₁+…+k_rα_r+k_n+1β=0，两端左乘β^T，并利用β^Tα_i=0及β^Tβ＞0，得k_r+1=0，→k₁α₁+…+k_rα_r=0，又α₁，…，α_r线性无关，→k₁=…=k_r=0，故α₁，…，α_r，β线性无关．

解析

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