2. 考研
  3. 已知α1，α2，α3，α4是线性方程组AX=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+α4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是AX =0的一个基础解系．

已知α1，α2，α3，α4是线性方程组AX=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+α4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是AX =0的一个基础解系．

admin2021-01-19  62
问题 已知α1，α2，α3，α4是线性方程组AX=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+α4，β4=α4+tα1，讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是AX =0的一个基础解系．
选项
答案由Aβ1=A(α1+tα2)=Aα1+tAα2=0+0=0，知β1为Ax=0的解，同理可知β2，β3也都是Ax=0的解．已知Ax=0的基础解系含4个向量，故β1，β2，β3，β4为Ax=0的一个基础解系，当且仅当β1，β2，β3，β4线性无关． 设有一组数x1，x2，x3，x4，使得 x1β1+x2β2+x3β3+x4β4=0 即 (x1+tx4)α1+(tx1+x2)α2+(tx2+x3)α3+(tx3+x4)α4=0，由于α1，α2，α3，α4线性无关，故 [*] 方程组(*)的系数行列式为 [*]=1+(一1)1+4t4=1一t4 故当且仅当1一t4≠0，即t≠±1时，方程组(*)仅有零解，此时β1，β2，β3，β4线性无关，从而可作为Ax=0的一个基础解系．
解析
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考研数学二

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