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已知α1,α2,α3,α4是线性方程组AX=0的一个基础解系,若β1=α1+tα2,β2=α2+tα3,β3=α3+α4,β4=α4+tα1,讨论实数t满足什么关系时,β1,β2,β3,β4也是AX =0的一个基础解系.
已知α1,α2,α3,α4是线性方程组AX=0的一个基础解系,若β1=α1+tα2,β2=α2+tα3,β3=α3+α4,β4=α4+tα1,讨论实数t满足什么关系时,β1,β2,β3,β4也是AX =0的一个基础解系.
admin
2021-01-19
90
问题
已知α
1
,α
2
,α
3
,α
4
是线性方程组AX=0的一个基础解系,若β
1
=α
1
+tα
2
,β
2
=α
2
+tα
3
,β
3
=α
3
+α
4
,β
4
=α
4
+tα
1
,讨论实数t满足什么关系时,β
1
,β
2
,β
3
,β
4
也是AX =0的一个基础解系.
选项
答案
由Aβ
1
=A(α
1
+tα
2
)=Aα
1
+tAα
2
=0+0=0,知β
1
为Ax=0的解,同理可知β
2
,β
3
也都是Ax=0的解.已知Ax=0的基础解系含4个向量,故β
1
,β
2
,β
3
,β
4
为Ax=0的一个基础解系,当且仅当β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关. 设有一组数x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,使得 x
1
β
1
+x
2
β
2
+x
3
β
3
+x
4
β
4
=0 即 (x
1
+tx
4
)α
1
+(tx
1
+x
2
)α
2
+(tx
2
+x
3
)α
3
+(tx
3
+x
4
)α
4
=0,由于α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性无关,故 [*] 方程组(*)的系数行列式为 [*]=1+(一1)
1+4
t
4
=1一t
4
故当且仅当1一t
4
≠0,即t≠±1时,方程组(*)仅有零解,此时β
1
,β
2
,β
3
,β
4
线性无关,从而可作为Ax=0的一个基础解系.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/tR84777K
0
考研数学二
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