设A是n阶矩阵,λ是A的特征值,其对应的特征向量为X,证明:λ2是A2的特征值,X为特征向量.若A2有特征值λ,其对应的特征向量为X,X是否一定为A的特征向量?说明理由.

admin2017-12-31  25

问题 设A是n阶矩阵,λ是A的特征值,其对应的特征向量为X,证明:λ2是A2的特征值,X为特征向量.若A2有特征值λ,其对应的特征向量为X,X是否一定为A的特征向量?说明理由.

选项

答案由AX=λX得A2X=A(AX)=A(λX)=λAX=λ2X可知λ2是A2的特征值,X为特征向量.若A2X=λX,其中A=[*],A2=O,A2的特征值为λ=0,取X=[*], 显然A2X=0X,但AX=[*],即X不是A的特征向量,因此结论未必成立.

解析
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