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设3阶实对称矩阵A的特征值是λ1=8,λ2=λ3=2,矩阵A属于特征值λ1的特征向量是ξ1=(1,k,1)T,属于特征值λ2=λ3的一个特征向量是ξ2=(-1,1,0)T. (Ⅰ)求参数k及A的属于特征值λ2=λ3的另一个特征向量; (Ⅱ)
设3阶实对称矩阵A的特征值是λ1=8,λ2=λ3=2,矩阵A属于特征值λ1的特征向量是ξ1=(1,k,1)T,属于特征值λ2=λ3的一个特征向量是ξ2=(-1,1,0)T. (Ⅰ)求参数k及A的属于特征值λ2=λ3的另一个特征向量; (Ⅱ)
admin
2018-06-12
85
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值是λ
1
=8,λ
2
=λ
3
=2,矩阵A属于特征值λ
1
的特征向量是ξ
1
=(1,k,1)
T
,属于特征值λ
2
=λ
3
的一个特征向量是ξ
2
=(-1,1,0)
T
.
(Ⅰ)求参数k及A的属于特征值λ
2
=λ
3
的另一个特征向量;
(Ⅱ)求矩阵A.
选项
答案
(Ⅰ)因为A是实对称矩阵,属于不同特征值的特征向量相互正交.ξ
1
,ξ
2
是A的分别属于特征值λ
1
,λ
2
=λ
3
的特征向量,故有ξ
1
T
ξ
2
=0,即 -1+k+0=0. 解得k=1,从而,ξ
1
=(1,1,1)
T
. 设矩阵A的属于特征值λ
2
=λ
3
的另一个特征向量为ξ
3
=(χ
1
,χ
2
,χ
3
)
T
.由于ξ
1
,ξ
3
是A的属于不同特征值的特征向量,故有ξ
1
T
ξ
3
=0.为使属于同一特征值λ
2
=λ
3
的2个特征向量线性无关,进一步设ξ
2
T
ξ
3
0.于是有齐次线性方程组 [*] 解得方程组的基础解系为(1,1,-2)
T
.所以,矩阵A的属于λ
2
=λ
3
=2的另一个特征向量ξ
3
=(1,1,-2)
T
. (Ⅱ)建立关于A的矩阵方程: [*] 用初等变换法求A: [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/tTg4777K
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考研数学一
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