设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有( )

admin2021-02-25 48

问题设A为n阶实矩阵，A^T是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)A^TAx=0，必有( )

选项 A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解
B、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解
C、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解
D、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解

答案A

解析本题考查齐次线性方程组解的概念及相关理论．
显然(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，设x₀是(Ⅱ)的解，则有A^TAx₀=0，在该式两边左乘x^T₀，得x^T₀A^TAx₀=0，即(Ax₀)^TAx₀=0，从而｜｜Ax₀｜｜=0，于是Ax₀=0，即(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解．故选A．

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