2. 考研
  3. [2007年] 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值．又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)．证明： 存在η∈(a，b)，使得f(η)=g(η)；

[2007年] 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值．又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)．证明： 存在η∈(a，b)，使得f(η)=g(η)；

admin2019-03-30  67
问题 [2007年]  设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导且存在相等的最大值．又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)．证明：
存在η∈(a，b)，使得f(η)=g(η)；
选项
答案由题设条件易知，只需用介值定理，为此设f(x)，g(x)在(a，b)内的最大值为M.由题设知，存在α∈(a，b)，β∈(a，b)(不妨设α≤β)，使f(α)=M=g(β)． 当α=β时，取η=α=β∈(a，b)，有f(η)=g(η)． 当α<β时，令F(x)=f(x)=g(x)，则 F(α)=f(α)－g(α)=M－g(α)≥0， F(β)=f(β)－g(β)=f(β)－M≤0． 由介值定理知，存在η∈(α，β)[*](a，b)，使F(η)=0，即f(η)=g(η)．
解析
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考研数学三

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