证明：当x≥0时，f(x)＝∫0x(t－t2)sin2ntdt的最大值不超过．

admin2018-01-23 47

问题证明：当x≥0时，f(x)＝∫₀^x(t－t²)sin²ⁿtdt的最大值不超过

．

选项

答案当x＞0时，令f’(x)＝(x－x²)sin²ⁿx＝0得x＝1，x＝kπ(k＝1，2，…)，当0＜x＜1时，f’(x)＞0；当x＞1时，f’(x)≤0(除x＝kπ(k＝1，2，…)外f’(x)＜0)，于是x＝1为f(x)的最大值点，f(x)的最大值为f(1)．因为当x≥0时，sinx≤x，所以当x∈[0，1]时，(x－x²)sin²ⁿx≤(x－x²)x²ⁿ＝x^2n＋1－x^2n＋2，于是f(x)≤f(1)＝∫₀¹(x－x²)sin²ⁿxdx ≤∫₀¹(x^2n＋1－x^2n＋2)dx＝[*]．

解析

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考研数学三

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