设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Ф’(x)=φ(x)，Ф(0)=0． (1)求方程y’+ysin x=φ(x)ecosx的通解； (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．

admin2016-06-25 82

问题设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Ф’(x)=φ(x)，Ф(0)=0．
(1)求方程y’+ysin x=φ(x)e^cosx的通解；
(2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．

选项

答案(1)该方程为一阶线性微分方程，通解为 y=e^{一∫sin xdx}[∫φ(x)e^{cos x}se^{∫sin xdx}dx+C] =e^{cos x}[∫φ(x)e^{cos x}．e^{一cos x}dx+C] =e^{cos x}[∫φ(x)dx+C]=e^{cos x}[Ф(x)+C](其中C为任意常数)． (2)因为Ф’(x)=φ(x)，所以Ф(x)=∫₀^xφ(t)dt+C1，又Ф(0)=0，于是Ф(x)=∫₀^xφ(t)dt 而Ф(x+2π)=∫₀^x+2πφ(t)dt=∫₀^xφ(t)dt+∫_x^x+2πφ(t)dt=Ф(x)+∫₀^2πφ(t)dt，所以，当∫₀^2πφ(t)dt=0时，Ф(x+2π)=Ф(x)，即Ф(x)以2π为周期．因此，当∫₀^2πφ(t)dt=0时，方程有以2π为周期的解．

解析

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考研数学二

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设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Ф’(x)=φ(x)，Ф(0)=0． (1)求方程y’+ysin x=φ(x)ecosx的通解； (2)方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．

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