设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且Ф’(x)=φ(x),Ф(0)=0. (1)求方程y’+ysin x=φ(x)ecosx的通解; (2)方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由.

admin2016-06-25  56

问题 设φ(x)是以2π为周期的连续函数,且Ф’(x)=φ(x),Ф(0)=0.
    (1)求方程y’+ysin x=φ(x)ecosx的通解;
    (2)方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由.

选项

答案(1)该方程为一阶线性微分方程,通解为 y=e一∫sin xdx[∫φ(x)ecos xse∫sin xdxdx+C] =ecos x[∫φ(x)ecos x.e一cos xdx+C] =ecos x[∫φ(x)dx+C]=ecos x[Ф(x)+C](其中C为任意常数). (2)因为Ф’(x)=φ(x),所以Ф(x)=∫0xφ(t)dt+C1, 又Ф(0)=0,于是Ф(x)=∫0xφ(t)dt 而Ф(x+2π)=∫0x+2πφ(t)dt=∫0xφ(t)dt+∫xx+2πφ(t)dt=Ф(x)+∫0φ(t)dt,所以,当∫0φ(t)dt=0时,Ф(x+2π)=Ф(x),即Ф(x)以2π为周期. 因此,当∫0φ(t)dt=0时,方程有以2π为周期的解.

解析
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