设A=，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。

admin2018-04-18 46

问题设A=

，正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角矩阵，若Q的第一列为

(1，2，1)^T，求a，Q。

选项

答案根据题意，(1，2，1)^T是A的一个特征向量，于是 [*] 解得a=一1，λ₁=2。由于A的特征多项式为｜λE一A｜=(λ一2)(λ一5)(λ+4)，所以A的特征值为2，5，一4。当λ₂=一4时，由此得其基础解系含有一个解向量，即α₂=[*]；当λ₃=一5时，由此得其基础解系含有一个解向量，即α₃=[*]。把α₂，α₃单位化得： [*] 此时，Q^TAQ=[*]，Q即为所求的矩阵。

解析

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