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  3. 设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，求L的方程．

设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，求L的方程．

admin2018-11-21  43
问题 设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，求L的方程．
选项
答案设L的方程为y=y(x)，过点M(x，y(x))的切线与y轴的交点为A(0，y(x)一xy’(x))，又 ｜[*]｜2=x2+[y(x)一(y(x)一xy’(x))]2=x2+x2y’2， ｜[*]｜2=(y2—xy’)2， 按题意得 x2+x2y’2=(y一xy’)2，即 2xyy’一y2=一x2． 又初始条件 [*]． 这是伯努利方程(也是齐次方程)2yy’一[*]y2=一x． 对z=y2而言这是一阶线性方程，两边乘积分因子μ=[*]，得 [*]y2=一x+C．y2=一x2+Cx． 由初始条件[*]，得C=3．因此L的方程为y2+x2=3x． [*]
解析
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考研数学一

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