已知n维向量α1，α2，α3线性无关，若β1，β2，β3可用α1，α2，α3线性表示，设(β1，β2，β3)＝(α1，α2，α3)C，证明：β1，β2，β3线性无关的充分必要条件是｜C｜≠0．

admin2020-06-05 39

问题已知n维向量α₁，α₂，α₃线性无关，若β₁，β₂，β₃可用α₁，α₂，α₃线性表示，设(β₁，β₂，β₃)＝(α₁，α₂，α₃)C，证明：β₁，β₂，β₃线性无关的充分必要条件是｜C｜≠0．

选项

答案记A＝(α₁，α₂，α₃)，B＝(β₁，β₂，β₃)．必要性．若β₁，β₂，β₃线性无关，则秩R(B)＝R(β₁，β₂，β₃)＝3．又R(B)＝R(AC)≤R(C)≤3，因此，R(C)＝3，即矩阵C可逆，｜C｜≠0．充分性．若｜C｜≠0，即矩阵C可逆，那么R(B)＝R(AC)＝R(A)＝R(α₁，α₂，α₃)＝3，所以β₁，β₂，β₃线性无关．

解析

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考研数学一

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已知n维向量α1，α2，α3线性无关，若β1，β2，β3可用α1，α2，α3线性表示，设(β1，β2，β3)＝(α1，α2，α3)C，证明：β1，β2，β3线性无关的充分必要条件是｜C｜≠0．

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