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已知n维向量α1,α2,α3线性无关,若β1,β2,β3可用α1,α2,α3线性表示,设(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C,证明:β1,β2,β3线性无关的充分必要条件是|C|≠0.
已知n维向量α1,α2,α3线性无关,若β1,β2,β3可用α1,α2,α3线性表示,设(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C,证明:β1,β2,β3线性无关的充分必要条件是|C|≠0.
admin
2020-06-05
52
问题
已知n维向量α
1
,α
2
,α
3
线性无关,若β
1
,β
2
,β
3
可用α
1
,α
2
,α
3
线性表示,设(β
1
,β
2
,β
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)C,证明:β
1
,β
2
,β
3
线性无关的充分必要条件是|C|≠0.
选项
答案
记A=(α
1
,α
2
,α
3
),B=(β
1
,β
2
,β
3
). 必要性. 若β
1
,β
2
,β
3
线性无关,则秩R(B)=R(β
1
,β
2
,β
3
)=3.又R(B)=R(AC)≤R(C)≤3,因此,R(C)=3,即矩阵C可逆,|C|≠0. 充分性. 若|C|≠0,即矩阵C可逆,那么R(B)=R(AC)=R(A)=R(α
1
,α
2
,α
3
)=3,所以β
1
,β
2
,β
3
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/u8v4777K
0
考研数学一
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