设y=y(x)(x＞0)是微分方程2yˊˊ+yˊ－y=(4—6x)e-x的一个解，且求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离

admin2016-03-18 25

问题设y=y(x)(x＞0)是微分方程2yˊˊ+yˊ－y=(4—6x)e^-x的一个解，且

求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离

选项

答案2yˊˊ+ yˊ－y=(4－6x)e^-x的特征方程为2λ²+λ－1=0，特征值为λ₁=－1，λ₂=[*] 2yˊˊ+ yˊ－y=0的通解为[*] 令2yˊˊ+ yˊ－y=(4－6x)e^-x的通解为y₀=(ax²+bx) e^-x，代入得a=1，b=0，原方程的通解为[*] 由[*]得y(0)=0，yˊ(0)=0，代入通解得C₁=C₂=0，故y=x²e^-x 由yˊ=(2x－x²) e^-x=0得x=2 当x∈(0，2)时，yˊ＞0；当x＞2时，yˊ＜0，则x=2为y(x)的最大点，故最大距离为d_max=y(2)=4e^-2

解析

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