已知实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A满足且ξ1=(1，2，1)T， ξ2=(1，一1，1)T是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系． (Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形，写出所用的正交变换和所得的标准形； (Ⅱ)求出该二次型．

admin2016-01-22 45

问题已知实二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx的矩阵A满足

且ξ₁=(1，2，1)^T，
ξ₂=(1，一1，1)^T是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系．
(Ⅰ)用正交变换将二次型f化为标准形，写出所用的正交变换和所得的标准形；
(Ⅱ)求出该二次型．

选项

答案(Ⅰ)由题意知A的特征值为λ₁=λ₂=0，λ₃=2．设ξ₃为A的属于特征值λ₃=2的特征向量，则ξ₃分别ξ₁，ξ₂正交，记ξ₃=(t₁，t₂，t₃)^T，有[*] 故可取t₁=1，t_2
解析

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考研数学一

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