设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量。若A2α+Aα－6α=0,求A的特征值，讨论A可否对角化。

admin2021-11-25 54

问题设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量。
若A²α+Aα－6α=0,求A的特征值，讨论A可否对角化。

选项

答案由A²α+Aα－6α=0得(A²+A－6E)α=0 因为α≠0，所以r(A²+A－6E)＜2，从而｜A²+A－6E｜=0，即｜3E+A｜·｜2E－A｜=0,则｜3E+A｜=0或｜2E－A｜=0 若｜3E+A｜≠0,则3E+A可逆，由（3E+A)(2E－A)α=0得（2E－A)α=0,即Aα=2α,与已知矛盾；若｜2E－A｜≠0，即2E－A可逆，由（2E－A)(3E+A)α=0,得 (3E+A)α=0,即Aα=－3α,与已知矛盾，所以有｜3E+A｜=0且｜2E－A｜=0,于是二阶矩阵A有两个特征值－3,2,故A可对角化。

解析

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