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设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量。 若A2α+Aα-6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化。
设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量。 若A2α+Aα-6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化。
admin
2021-11-25
55
问题
设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量。
若A
2
α+Aα-6α=0,求A的特征值,讨论A可否对角化。
选项
答案
由A
2
α+Aα-6α=0得(A
2
+A-6E)α=0 因为α≠0,所以r(A
2
+A-6E)<2,从而|A
2
+A-6E|=0,即 |3E+A|·|2E-A|=0,则|3E+A|=0或|2E-A|=0 若|3E+A|≠0,则3E+A可逆,由(3E+A)(2E-A)α=0得 (2E-A)α=0,即Aα=2α,与已知矛盾; 若|2E-A|≠0,即2E-A可逆,由(2E-A)(3E+A)α=0,得 (3E+A)α=0,即Aα=-3α,与已知矛盾,所以有|3E+A|=0且|2E-A|=0,于是二阶矩阵A有两个特征值-3,2,故A可对角化。
解析
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考研数学二
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