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  3. 设函数Y＝f(x)在(0，＋∞)内有界且可导，则

设函数Y＝f(x)在(0，＋∞)内有界且可导，则

admin2014-05-19  47
问题 设函数Y＝f(x)在(0，＋∞)内有界且可导，则
选项 A、当时，必有．
B、当存在时，必有．
C、当时，必有．
D、当存在时，必有．
答案B
解析 [分析]  本题考查函数的有界性与函数的极限、导函数的极限之间的关系，可通过举反例用排除法找到答案，也可用中值定理直接证明．
[详解1]  设，所以f(x)在(0，＋∞)内
有界，由于
    可见f(x)在(0，＋∞)内可导．但不存在，，排除(A)，(D)．
    又设f(x)＝sinx，则f(x)在(0，＋∞)内有界且可导，，进一步排除(C)．故应选(B)．
    [详解2]  直接证明(B)正确．用反证法，由题设存在，设，不妨设A＞0，则对于存在x＞0，当x＞X时，有
                 
    即，可见．在区间[X，x]上应用拉格朗日中值定理，有
    f(x)＝f(X)＋f’(ξ)(x－X)＞f(X)＋，
    于是，与题设f(x)存(0，＋∞)上有界矛盾，故．
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考研数学二

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