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设ψ(x)是以2π为周期的连续函数,且φ(x)=ψ(x),φ(0)=0. (1)求方程y’+ysinx=ψ(x)ecosx的通解; (2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由.
设ψ(x)是以2π为周期的连续函数,且φ(x)=ψ(x),φ(0)=0. (1)求方程y’+ysinx=ψ(x)ecosx的通解; (2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由.
admin
2021-08-05
82
问题
设ψ(x)是以2π为周期的连续函数,且φ(x)=ψ(x),φ(0)=0.
(1)求方程y’+ysinx=ψ(x)e
cosx
的通解;
(2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有,请写出所需条件,若没有,请说明理由.
选项
答案
(1)该方程为一阶非齐次线性微分方程,通解为 y=e
∫sinxdx
[∫ψ(x)e
cosx
e
∫sinxdx
dx+C]=e
cosx
[∫ψ(x)e
cosx
·e
—cosx
dx+C] =e
cosx
[∫ψ(x)dx+C]—e
cosx
[φ(x)+C](C为任意常数) (2)因通解中e
cosx
是以2π为周期的函数,故只需φ(x+2π)即可.因为φ’(x)=ψ(x), 所以φ(x)=∫
0
x
ψ(t)dt+C
1
.又φ(0)=0,于是φ(x)一∫
0
x
ψ(t)dt.而 φ(x+2π)=∫
0
x+2π
ψ(t)dt=∫
0
x
ψ(t)dt+∫
x
x+2π
ψ(t)dt=φ(x)+∫
0
2π
ψ(t)dt, 所以,当∫
0
2π
ψ(t)dt=0时,φ(x+2π)=φ(x),此时φ(x)以2π为周期. 因此,当∫
0
2π
ψ(t)dt=0时,方程有以2π为周期的解.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/uPy4777K
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考研数学二
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