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  3. 设α1，α2，…，αn为n个n维向量，证明：α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α1，α2，…，αn线性表示．

设α1，α2，…，αn为n个n维向量，证明：α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α1，α2，…，αn线性表示．

admin2017-08-31  37
问题 设α1，α2，…，αn为n个n维向量，证明：α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是任一n维向量总可由α1，α2，…，αn线性表示．
选项
答案设α1，α2，…，αn线性无关，对任意的n维向量α，因为α1，α2，…，αn，α一定线性相关，所以α可由α1，α2，…，αn唯一线性表示，即任一n维向量总可由α1，α2，…，αn线性表示． 反之，设任一n维向量总可由α1，α2，…，αn线性表示，取[*]，则e1，e2，…，en可由α1，α2，…，αn线性表示，故α1，α2，…，αn的秩不小于e1，e2，…，en的秩，而e1，e2，…，en线性无关，所以α1，α2，…，αn的秩一定为n，即α1，α2，…，αn线性无关．
解析
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考研数学一

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