2. 考研
  3. (Ⅰ)A是n阶实对称矩阵．λ1，λ2，…，λn是A的特征值，ξ1，ξ2，…，ξn是A的分别对应于λ1，λ2，…，λn的标准正交特征向量．证明A可表示成n个秩为1的实对称矩阵的和； (Ⅱ)设191，将A表示成三个秩为1的实对称矩阵的和．

(Ⅰ)A是n阶实对称矩阵．λ1，λ2，…，λn是A的特征值，ξ1，ξ2，…，ξn是A的分别对应于λ1，λ2，…，λn的标准正交特征向量．证明A可表示成n个秩为1的实对称矩阵的和； (Ⅱ)设191，将A表示成三个秩为1的实对称矩阵的和．

admin2019-01-24  43
问题 (Ⅰ)A是n阶实对称矩阵．λ1，λ2，…，λn是A的特征值，ξ1，ξ2，…，ξn是A的分别对应于λ1，λ2，…，λn的标准正交特征向量．证明A可表示成n个秩为1的实对称矩阵的和；
(Ⅱ)设191，将A表示成三个秩为1的实对称矩阵的和．
选项
答案(Ⅰ)令Q＝(ξ1，ξ2，…，ξn)，则Q是标准正交矩阵．且 [*] 其中ξiξiT均有，r(ξiξiT)＝1，且(ξiξiT)T＝(ξiT)TξiT＝ξiξiT，i＝1，2，…，n． 故A可表示成n个秩为1的实对称矩阵的和． (Ⅱ) [*] ＝(λ＋4)[(λ－3)(λ－4)－2]＝(λ＋4)(λ－2)(λ－5)． 故A有特征值λ1＝－4，λ2＝2，λ3＝5． [*] 故 A＝λ1ξ1ξ1T＋λ2ξ2ξ2T＋λ3ξ3ξ3T [*]
解析
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考研数学一

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