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(Ⅰ)A是n阶实对称矩阵.λ1,λ2,…,λn是A的特征值,ξ1,ξ2,…,ξn是A的分别对应于λ1,λ2,…,λn的标准正交特征向量.证明A可表示成n个秩为1的实对称矩阵的和; (Ⅱ)设191,将A表示成三个秩为1的实对称矩阵的和.
(Ⅰ)A是n阶实对称矩阵.λ1,λ2,…,λn是A的特征值,ξ1,ξ2,…,ξn是A的分别对应于λ1,λ2,…,λn的标准正交特征向量.证明A可表示成n个秩为1的实对称矩阵的和; (Ⅱ)设191,将A表示成三个秩为1的实对称矩阵的和.
admin
2019-01-24
21
问题
(Ⅰ)A是n阶实对称矩阵.λ
1
,λ
2
,…,λ
n
是A的特征值,ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
是A的分别对应于λ
1
,λ
2
,…,λ
n
的标准正交特征向量.证明A可表示成n个秩为1的实对称矩阵的和;
(Ⅱ)设
191,将A表示成三个秩为1的实对称矩阵的和.
选项
答案
(Ⅰ)令Q=(ξ
1
,ξ
2
,…,ξ
n
),则Q是标准正交矩阵.且 [*] 其中ξ
i
ξ
i
T
均有,r(ξ
i
ξ
i
T
)=1,且(ξ
i
ξ
i
T
)
T
=(ξ
i
T
)
T
ξ
i
T
=ξ
i
ξ
i
T
,i=1,2,…,n. 故A可表示成n个秩为1的实对称矩阵的和. (Ⅱ) [*] =(λ+4)[(λ-3)(λ-4)-2]=(λ+4)(λ-2)(λ-5). 故A有特征值λ
1
=-4,λ
2
=2,λ
3
=5. [*] 故 A=λ
1
ξ
1
ξ
1
T
+λ
2
ξ
2
ξ
2
T
+λ
3
ξ
3
ξ
3
T
[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ucM4777K
0
考研数学一
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