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设随机变量X与Y相互独立,概率密度分别为求随机变量Z=2X+Y的概率密度fZ(z).
设随机变量X与Y相互独立,概率密度分别为求随机变量Z=2X+Y的概率密度fZ(z).
admin
2018-09-25
53
问题
设随机变量X与Y相互独立,概率密度分别为
求随机变量Z=2X+Y的概率密度f
Z
(z).
选项
答案
记U=2X,则由随机变量函数的概率密度计算公式得 [*] 于是Z=2X+Y=U+Y(其中U与Y相互独立)的概率密度 f
Z
(z)=∫
-∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z-u)du. 由于 [*] 即f
U
(u)f
Y
(z-u)仅在D
z
={(u,z)|0<u<,z-u>0)(如图3—9的阴影部分)上取值[*]在uOz平面的其他部分取值均为0,所以: 当z<0时, ∫
-∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z-u)du=∫
-∞
+∞
0du=0; 当0≤z<2时, ∫
-∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z-u)du=∫
-∞
0
0du+∫
0
z
[*]e
-(z-u)
du+∫
z
+∞
0du =[*](1-e
-2
); 当z≥2时, ∫
-∞
+∞
f
U
(u)f
Y
(z-u)du=∫
-∞
0
0du+∫
0
2
[*]e
-(z-u)
du+∫
2
+∞
0du =[*](e
2
-1)e
-z
. 由此得到 [*]
解析
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考研数学一
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