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  3. 设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为求随机变量Z=2X+Y的概率密度fZ(z)．

设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为求随机变量Z=2X+Y的概率密度fZ(z)．

admin2018-09-25  79
问题 设随机变量X与Y相互独立，概率密度分别为求随机变量Z=2X+Y的概率密度fZ(z)．
选项
答案记U=2X，则由随机变量函数的概率密度计算公式得 [*] 于是Z=2X+Y=U+Y(其中U与Y相互独立)的概率密度 fZ(z)=∫－∞+∞fU(u)fY(z－u)du． 由于 [*] 即fU(u)fY(z－u)仅在Dz={(u，z)｜0＜u＜，z－u＞0)(如图3—9的阴影部分)上取值[*]在uOz平面的其他部分取值均为0，所以： 当z＜0时， ∫－∞+∞fU(u)fY(z－u)du=∫－∞+∞0du=0； 当0≤z＜2时， ∫－∞+∞fU(u)fY(z－u)du=∫－∞00du+∫0z[*]e－(z－u)du+∫z+∞0du =[*](1－e－2)； 当z≥2时， ∫－∞+∞fU(u)fY(z－u)du=∫－∞00du+∫02[*]e－(z－u)du+∫2+∞0du =[*](e2－1)e－z． 由此得到 [*]
解析
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考研数学一

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