设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )

admin2019-03-11 28

问题设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )

选项 A、当n＞m时仅有零解．
B、当n＞m时必有非零解．
C、当m＞n时仅有零解．
D、当m＞n时必有非零解．

答案D

解析 1 注意AB为m阶方阵，方程组(AB)x=0有非零解(只有零解)

(AB)＜m(r(AB)=m)．
当m＞n时，有
r(AB)≤r(A)≤n＜m
故当m＞n时，方程组(AB)x=0必有非零解．可以举例说明备选项A、B都不对．故只有D正确．
2 B为n×m矩阵，当n＜m时，齐次线性方程组Bx=0必有非零解，从而知当n＜m时，齐次线性方程组ABx=0(即(AB)x=0)必有非零解．

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