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设A=,已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解, (Ⅰ)求λ,a; (Ⅱ)求方程组Ax=b的通解。
设A=,已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解, (Ⅰ)求λ,a; (Ⅱ)求方程组Ax=b的通解。
admin
2018-04-18
65
问题
设A=
,已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解,
(Ⅰ)求λ,a;
(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解。
选项
答案
(Ⅰ)方法一:已知Ax=b有两个不同的解,故r(A)=[*]<3,对增广矩阵进行初等行变换,得 [*] 可知1一λ
2
=0或λ一1=0,也即λ=1或λ=一1。 当λ=1时,[*],故Ax=b无解(舍去)。 当λ=一1时,[*]<3,所以a=一2。 故λ=一1,a=一2。 方法二:已知Ax=b有两个不同的解,故r(A)=[*]<3,因此|A|=0,即 |A|=[*]=(λ一1)
2
(λ+1)=0, 解得λ=1或λ=一1。 当λ=1时,r(A)=1≠[*]=2,此时,Ax=b无解,因此λ=一1。由r(A)=[*],得a=一2。 (Ⅱ)对增广矩阵作初等行变换,即 [*] 可知原方程组等价为[*]写成向量的形式,即 (x
1
,x
2
,x
3
)
T
=k(1,0,1)
T
+([*],0)
T
, 因此Ax=b的通解为 x=k(1,0,1)
T
+([*],0),其中k为任意常数。
解析
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考研数学三
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