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设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)= g(a),f(b)= g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f "(ξ)=g"(ξ).
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)= g(a),f(b)= g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f "(ξ)=g"(ξ).
admin
2022-09-05
32
问题
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)= g(a),f(b)= g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f "(ξ)=g"(ξ).
选项
答案
令h(x)= f(x)-g(x),则h(a)=h(b)=0. 设f(x),g(x)在(a,b)内的最大值M分别在a∈(a,b) ,β∈(a ,b)取得. 当a=β时,取η=a,则h(η)=0. 当a≠β时, h(a)= f(a)-g(a)=M-g(a)>0, h(β)= f(β)-g(β)= f(β)- M<0. 由介值定理,存在介于a与β之间的点η,使得h(η)=0. 综上,存在η∈(a.b),使得h(η)=0.因此由罗尔定理可知,存在ξ
1
∈(a,η),ξ
2
∈(η,b),使得 h’(ξ
1
)=h’(ξ
2
)=0, 再由罗尔定理可知,存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,b),使得h"(ξ)=0,即 f"(ξ)=g"(ξ).
解析
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考研数学三
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