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  3. 设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有( )．

设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有( )．

admin2020-06-05  50
问题 设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有(    )．
选项 A、α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关
B、α1，α2，α3，kβ1＋β2线性相关
C、α1，α2，α3，β1＋kβ2线性无关
D、α1，α2，α3，β1＋kβ2线性相关
答案A
解析 方法一
记A＝2(α1，α2，α3，kβ1＋β2)，B＝(α1，α2，α3，β1＋kβ2)．因向量β1可由α1，α2，α3线性表
示，故必存在常数λ1，λ2，λ3使
β1＝λ1α1＋λ2α2＋λ3α3
分别对A，B实施相应的初等列变换，得
A＝(α1，α2，α3，kβ1＋β2)
(α1，α2，α3，β2)
B＝(α1，α2，α3，β1＋kβ2)
(α1，α2，α3，kβ2)
可见向量组α1，α2，α3，kβ1＋β2与α1，α2，α3，β2线性相关性相同，向量组α1，α2，α3，β1＋kβ2与
α1，α2，α3，kβ2线性相关性相同．又由题设条件可知α1，α2，α3，β2线性无关，从而向量组α1，α2，
α3，kβ1＋β2不论k为何值均线性无关；而向量组α1，α2，α3，kβ2线性相关与否依赖于k的取值(k＝0时，线性相关；k≠0时线性无关)，即可排除(B)，(C)，(D)．从而选(A)．
方法二
由题意可设β1＝l1lα1＋l2α2＋l33α3．因为β2不能由α1，α2，α3线性表示，所以，α1，α2，α3，β2线性无关．设
k1α1＋k2α2＋k3α3＋k4(kβ1＋β2)＝0
将β1＝l1α1＋l2α2＋l3α3代入上式整理得
(k1＋k4l1k)α1＋(k2＋k4l2k)α2＋(k3 ＋k4l3k)α3＋k4β2＝0
由α1，α2，α3，β2线性无关得k1＋k4l1k＝0，k2＋k4l2k＝0，k3＋k4l3k＝0，k4＝0
可见对于任意常数k都有k1＝k2＝k3＝k4＝0，故α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关．
对于向量组α1，α2，α3，β1＋kβ2，当k＝0时是线性相关的；而当k≠0时，可证它是线性无关的．故应选(A)．
方法三
用赋值法排除．取k＝0，显然(B)，(C)不能入选．取k＝1并联系方法一，又排除(D)，故(A)正确．
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