设α1，α2，…，αn(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α1＋α2，α2＋α3，…，αn＋α1线性无关．

admin2021-09-16 11

问题设α₁，α₂，…，α_n(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α₁＋α₂，α₂＋α₃，…，α_n＋α₁线性无关．

选项

答案设有x₁，x₂，…x_n使x₁(α₁＋α₂)＋x₂(α₂＋α₃)＋…＋x_n(α_n＋α₁)＝0，即 (x₁＋x_n)α₁＋(x₁＋x₂)α₂＋…＋(x_n－1＋x_n)α_n＝0．因为α₁，α₂，…，α_n线性无关，所以有[*] 该方程组系数行列式D_n＝1＋(－1)^n＋1，n为奇数，D_n≠0，x₁＝…＝x_n＝0 α₁＋α₂，α₂＋α₃，…，α_n＋α₁线性无关．

解析

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考研数学一

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