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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内存在二阶导数,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0. 证明: 存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f′(ξi)+f(ξi)=0(i=1,2)。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内存在二阶导数,且f(a)=f(b)=0,∫abf(x)dx=0. 证明: 存在ξi∈(a,b)(i=1,2),且ξ1≠ξ2,使得f′(ξi)+f(ξi)=0(i=1,2)。
admin
2019-09-27
51
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内存在二阶导数,且f(a)=f(b)=0,∫
a
b
f(x)dx=0.
证明:
存在ξ
i
∈(a,b)(i=1,2),且ξ
1
≠ξ
2
,使得f′(ξ
i
)+f(ξ
i
)=0(i=1,2)。
选项
答案
令h(x)=e
x
f(x),因为h(a)=h(c)=h(b)=0,所以由罗尔定理,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得h′(ξ
1
)=h′(ξ
2
)=0, 而h′(x)=e
x
[f′(x)+f(x)]且e
x
≠0,所以f′(ξ
i
)+f(ξ
i
)=0(i=1,2).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KnS4777K
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考研数学一
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