2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0． 证明： 存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f′(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)。

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0． 证明： 存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f′(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)。

admin2019-09-27  41
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．
证明：
存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f′(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)。
选项
答案令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h′(ξ1)=h′(ξ2)=0， 而h′(x)=ex[f′(x)+f(x)]且ex≠0，所以f′(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．
解析
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考研数学一

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