设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f′(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)。

admin2019-09-27 27

问题设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且f(a)=f(b)=0，∫_a^bf(x)dx=0．
证明：
存在ξ_i∈(a，b)(i=1，2)，且ξ₁≠ξ₂，使得f′(ξ_i)+f(ξ_i)=0(i=1，2)。

选项

答案令h(x)=e^xf(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ₁∈(a，c)，ξ₂∈(c，b)，使得h′(ξ₁)=h′(ξ₂)=0，而h′(x)=e^x[f′(x)+f(x)]且e^x≠0，所以f′(ξ_i)+f(ξ_i)=0(i=1，2)．

解析

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考研数学一

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