设α1，α2，…，αn为Rn的一组基，β1=aα1+bα2，β2=aα2+bα3，…，βn-1=aαn-1+bαn，βn=aαn+bα1． (I)若β1，β2，…，βn也为Rn的一组基，则a，b应满足什么条件? (Ⅱ)当n=3，a=b=1时，求从基β1，

admin2020-09-23 14

问题设α₁，α₂，…，α_n为Rⁿ的一组基，β₁=aα₁+bα₂，β₂=aα₂+bα₃，…，β_n-1=aα_n-1+bα_n，β_n=aα_n+bα₁．
(I)若β₁，β₂，…，β_n也为Rⁿ的一组基，则a，b应满足什么条件?
(Ⅱ)当n=3，a=b=1时，求从基β₁，β₂，β₃到基α₁，α₂，α₃的过渡矩阵；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若任意3维列向量γ在基α₁，α₂，α₃下的坐标为(2，2，2)，求γ在基β₁，β₂，β₃下的坐标．

选项

答案(I)(β₁，β₂，…，β_n)=(α₁，α₂，…，α_n)[*](α₁，α₂，…，α_n)C，若β₁，β₂，…，β_n是Rⁿ的一组基，则β₁，β₂，…，β_n线性无关，而β₁，β₂，…，β_n线性无关[*]=aⁿ+(一1)ⁿ⁺¹bⁿ≠0，故当a，b满足aⁿ+(一1)ⁿ⁺¹bⁿ≠0时，β₁，β₂，…，β_n也为Rⁿ的一组基． (Ⅱ)当n=3，a=b=1时，由(I)知 (α₁，α₂，α₃)=(β₁，β₂，β₃)C^-1， C^-1即为从基β₁，β₂，β₃到基α₁，α₂，α₃的过渡矩阵，下面求C^-1． [*] 故所求过渡矩阵 [*] (Ⅲ)由已知条件知 [*] 考虑到(α₁，α₂，α₃)=(β₁，β₂，β₃)C^-1，则 [*] 故γ在基β₁，β₂，β₃下的坐标为(1，1，1)．

解析

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