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设α1，α2，…，αn为Rn的一组基，β1=aα1+bα2，β2=aα2+bα3，…，βn-1=aαn-1+bαn，βn=aαn+bα1． (I)若β1，β2，…，βn也为Rn的一组基，则a，b应满足什么条件? (Ⅱ)当n=3，a=b=1时，求从基β1，
设α1，α2，…，αn为Rn的一组基，β1=aα1+bα2，β2=aα2+bα3，…，βn-1=aαn-1+bαn，βn=aαn+bα1． (I)若β1，β2，…，βn也为Rn的一组基，则a，b应满足什么条件? (Ⅱ)当n=3，a=b=1时，求从基β1，
admin
2020-09-23
7
问题
设α
1
，α
2
，…，α
n
为R
n
的一组基，β
1
=aα
1
+bα
2
，β
2
=aα
2
+bα
3
，…，β
n-1
=aα
n-1
+bα
n
，β
n
=aα
n
+bα
1
．
(I)若β
1
，β
2
，…，β
n
也为R
n
的一组基，则a，b应满足什么条件?
(Ⅱ)当n=3，a=b=1时，求从基β
1
，β
2
，β
3
到基α
1
，α
2
，α
3
的过渡矩阵；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若任意3维列向量γ在基α
1
，α
2
，α
3
下的坐标为(2，2，2)，求γ在基β
1
，β
2
，β
3
下的坐标．
选项
答案
(I)(β
1
，β
2
，…，β
n
)=(α
1
，α
2
，…，α
n
)[*](α
1
，α
2
，…，α
n
)C， 若β
1
，β
2
，…，β
n
是R
n
的一组基，则β
1
，β
2
，…，β
n
线性无关，而β
1
，β
2
，…，β
n
线性无关[*]=a
n
+(一1)
n+1
b
n
≠0，故当a，b满足a
n
+(一1)
n+1
b
n
≠0时，β
1
，β
2
，…，β
n
也为R
n
的一组基． (Ⅱ)当n=3，a=b=1时，由(I)知 (α
1
，α
2
，α
3
)=(β
1
，β
2
，β
3
)C
-1
， C
-1
即为从基β
1
，β
2
，β
3
到基α
1
，α
2
，α
3
的过渡矩阵，下面求C
-1
． [*] 故所求过渡矩阵 [*] (Ⅲ)由已知条件知 [*] 考虑到(α
1
，α
2
，α
3
)=(β
1
，β
2
，β
3
)C
-1
，则 [*] 故γ在基β
1
，β
2
，β
3
下的坐标为(1，1，1)．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/v0v4777K
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考研数学一
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