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设α1,α2,…,αn为Rn的一组基,β1=aα1+bα2,β2=aα2+bα3,…,βn-1=aαn-1+bαn,βn=aαn+bα1. (I)若β1,β2,…,βn也为Rn的一组基,则a,b应满足什么条件? (Ⅱ)当n=3,a=b=1时,求从基β1,
设α1,α2,…,αn为Rn的一组基,β1=aα1+bα2,β2=aα2+bα3,…,βn-1=aαn-1+bαn,βn=aαn+bα1. (I)若β1,β2,…,βn也为Rn的一组基,则a,b应满足什么条件? (Ⅱ)当n=3,a=b=1时,求从基β1,
admin
2020-09-23
16
问题
设α
1
,α
2
,…,α
n
为R
n
的一组基,β
1
=aα
1
+bα
2
,β
2
=aα
2
+bα
3
,…,β
n-1
=aα
n-1
+bα
n
,β
n
=aα
n
+bα
1
.
(I)若β
1
,β
2
,…,β
n
也为R
n
的一组基,则a,b应满足什么条件?
(Ⅱ)当n=3,a=b=1时,求从基β
1
,β
2
,β
3
到基α
1
,α
2
,α
3
的过渡矩阵;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若任意3维列向量γ在基α
1
,α
2
,α
3
下的坐标为(2,2,2),求γ在基β
1
,β
2
,β
3
下的坐标.
选项
答案
(I)(β
1
,β
2
,…,β
n
)=(α
1
,α
2
,…,α
n
)[*](α
1
,α
2
,…,α
n
)C, 若β
1
,β
2
,…,β
n
是R
n
的一组基,则β
1
,β
2
,…,β
n
线性无关,而β
1
,β
2
,…,β
n
线性无关[*]=a
n
+(一1)
n+1
b
n
≠0,故当a,b满足a
n
+(一1)
n+1
b
n
≠0时,β
1
,β
2
,…,β
n
也为R
n
的一组基. (Ⅱ)当n=3,a=b=1时,由(I)知 (α
1
,α
2
,α
3
)=(β
1
,β
2
,β
3
)C
-1
, C
-1
即为从基β
1
,β
2
,β
3
到基α
1
,α
2
,α
3
的过渡矩阵,下面求C
-1
. [*] 故所求过渡矩阵 [*] (Ⅲ)由已知条件知 [*] 考虑到(α
1
,α
2
,α
3
)=(β
1
,β
2
,β
3
)C
-1
,则 [*] 故γ在基β
1
,β
2
,β
3
下的坐标为(1,1,1).
解析
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考研数学一
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