(2007年试题,19)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(n)f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=g’’(ξ).

admin2013-12-27  48

问题 (2007年试题,19)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值f(a)=g(n)f(b)=g(b),证明:存在ξ∈(a,b),使得f’’(ξ)=g’’(ξ).

选项

答案设f(x),g(x)在(a,b)内某点η∈(a,b)同时取得最大值,则f(η)=g(η).若两个函数取得最大值的点不同,则可设fC=maxf(x).g(d)=maxg(x),故有fC一g>0,f(d)一g(d)<0,由介值定理,在(c,d)内(或(d,c)内)肯定存在η使得f(η)=g(η).由罗尔定理在区间(a,η),(η,b)内分别存在一点ξ1,ξ2使得,f1)=g1),f2)=g2).在区间(ξ1,ξ2)内再用罗尔定理,即存在ξ∈(ξ1,ξ2)c(a,b),使得f’’(ξ)=g,(ξ). 解析二利用以下两个已知的结论:(1)设h(x)在(a,b)可导,若h(x)在(a,b)恒不为零,则h(x)>0(x∈(a,b))h(x)<0(x∈(a,b)).(2)设h(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,若h(a)=h(b)=0,h(x)在[a,b]为凸(凹)函数,则h(x)>0(或<0)(x∈(a,b)).同前,由题设[*]x1∈(a,b),M=[*]f(x)=f(x1),[*]x2∈(a,b),M=[*]g(x)=g(x2).令F(x)=f(x)一g(x).现用反证法.若结论不对,则F’’(x)>0或F’’(x)<0(x∈(a,b)).(1)若F’’(x)>0(x∈(a,b)→F(x)在[a,b]为凹函数,又F(a)=F(b)=0→(x)<0(x∈(a,b)),但F(x。)=f(x)一g(x。)≥0,矛盾.(2)若F’’(x)<0(x∈(a,6)→F(x)在[a,b]为凸函数,又F(a)=F(b)→0→F(x)>0(x∈(a,b))但F(x2)=f(x2)一g(x2)≥0,矛盾.

解析
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