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设有平面光滑曲线l:x=x(t),y=y(t),z=0,t∈[α,β],以及空间光滑曲线L:x=x(t),y=y(t). z=f(x(t),y(t)),t∈[α,β],t=α,t=β分别是起点与终点的参数. (Ⅰ)试说明l,L及曲面S:z=f(x,y)的关
设有平面光滑曲线l:x=x(t),y=y(t),z=0,t∈[α,β],以及空间光滑曲线L:x=x(t),y=y(t). z=f(x(t),y(t)),t∈[α,β],t=α,t=β分别是起点与终点的参数. (Ⅰ)试说明l,L及曲面S:z=f(x,y)的关
admin
2019-07-19
36
问题
设有平面光滑曲线l:x=x(t),y=y(t),z=0,t∈[α,β],以及空间光滑曲线L:x=x(t),y=y(t). z=f(x(t),y(t)),t∈[α,β],t=α,t=β分别是起点与终点的参数.
(Ⅰ)试说明l,L及曲面S:z=f(x,y)的关系;
(Ⅱ)若P,Q,R连续,f(x,y)有连续的偏导数,求证:
∫
L
P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz
=∫
l
P(x,y,f(x,y))+
R(x,y,f(x,y))]dx+[Q(x,y,f(x,y))+
R(x,y,f(x,y))] dy.
选项
答案
(Ⅰ)l是L在xy平面上的投影曲线,定向相同.以l为准线,母线平行于z轴的柱面与曲面S相交得曲线L. (Ⅱ)按线积分化定积分公式得 [*] 三式相加即得证.
解析
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考研数学一
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