设矩阵A=,已知A有3个线性无关的特征向量,λ=2是A的二重特征值,试求可逆矩阵P,使得P﹣1AP为对角形矩阵.

admin2020-06-05  38

问题 设矩阵A=,已知A有3个线性无关的特征向量,λ=2是A的二重特征值,试求可逆矩阵P,使得P﹣1AP为对角形矩阵.

选项

答案因为矩阵A有三个线性无关的特征向量,而λ=2是其二重特征值,故矩阵A属于特征值λ=2必有两个线性无关的特征向量,也就是方程组(A-2E)x=0的基础解系包含两个线性无关的解向量,根据齐次线性方程解的性质可知R(A-2E)=3—2=1. 又A-2E=[*] 故而x=2,y=﹣2. 又因为矩阵A的主对角线上的元素之和等于矩阵A的所有特征值之和,所以矩阵A的第三个特征值λ3=10-2-2=6. 当λ1=λ2=2时,解方程(A-2E)x=0.由 A-2E=[*] 得基础解系p1=(﹣1,1,0)T,p2=(1,0,1)T. 当λ3=6时,解方程(A-6E)x=0.由 A-6E [*] 得基础解系p3=(1,﹣2,3)T 取P=(p1,p2,p3)=[*],则P﹣1AP=[*]

解析
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