设矩阵A＝，已知A有3个线性无关的特征向量，λ＝2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得P﹣1AP为对角形矩阵．

admin2020-06-05 75

问题设矩阵A＝

，已知A有3个线性无关的特征向量，λ＝2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得P^﹣1AP为对角形矩阵．

选项

答案因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，而λ＝2是其二重特征值，故矩阵A属于特征值λ＝2必有两个线性无关的特征向量，也就是方程组(A－2E)x＝0的基础解系包含两个线性无关的解向量，根据齐次线性方程解的性质可知R(A－2E)＝3—2＝1．又A－2E＝[*] 故而x＝2，y＝﹣2．又因为矩阵A的主对角线上的元素之和等于矩阵A的所有特征值之和，所以矩阵A的第三个特征值λ₃＝10－2－2＝6．当λ₁＝λ₂＝2时，解方程(A－2E)x＝0．由 A－2E＝[*] 得基础解系p₁＝(﹣1，1，0)^T，p₂＝(1，0，1)^T．当λ₃＝6时，解方程(A－6E)x＝0．由 A－6E [*] 得基础解系p₃＝(1，﹣2，3)^T 取P＝(p₁，p₂，p₃)＝[*]，则P^﹣1AP＝[*]

解析

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考研数学一

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设矩阵A＝，已知A有3个线性无关的特征向量，λ＝2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得P﹣1AP为对角形矩阵．

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