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设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y(x)，y(x)与y(x)是二阶线性非齐次方程 y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且 则式①的通解为________
设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y(x)，y(x)与y(x)是二阶线性非齐次方程 y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且 则式①的通解为________
admin
2019-05-14
58
问题
设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y(x)，y(x)与y(x)是二阶线性非齐次方程
y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) ①
的3个解，且
则式①的通解为________
选项
答案
y=C
1
(y
1
-y
2
)+C
2
(y
2
-y
3
)+y
1
，其中C
1
，C
2
为任意常数
解析
由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可．
y
1
-y
2
与y
2
-y
3
均是式①对应的线性齐次方程
y’’+p(x)y’+q(x)y=0 ②
的两个解．今证它们线性无关．事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数k
1
与
2
使k
1
(y
1
-y
2
)+k
2
(y
2
-y
3
)=0． ③
设k
1
≠0，又由题设知y
2
-y
3
≠0，于是式③可改写为
=常数，矛盾．若k
1
=0，由y
2
-y
3
≠0，故由式③推知k
2
=0矛盾．这些矛盾证得y
1
-y
2
与y
2
-y
3
线性无关．于是 Y=C
1
(y
1
-y
2
)+C
2
(y
2
-y
3
) ④
为式②的通解，其中C
1
，C
2
为任意常数，从而知y=C
1
(y
1
-y
2
)+C
2
(y
2
-y
3
)+y
1
⑤
为式①的通解．
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考研数学一
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