设p(x),q(x)与f(x)均为连续函数,f(x)≠0.设y(x),y(x)与y(x)是二阶线性非齐次方程 y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) ① 的3个解,且 则式①的通解为________

admin2019-05-14  43

问题 设p(x),q(x)与f(x)均为连续函数,f(x)≠0.设y(x),y(x)与y(x)是二阶线性非齐次方程
    y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)    ①
的3个解,且
   
则式①的通解为________

选项

答案y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3)+y1,其中C1,C2为任意常数

解析 由非齐次线性方程的两个解,可构造出对应的齐次方程的解,再证明这样所得到的解线性无关便可.
  y1-y2与y2-y3均是式①对应的线性齐次方程
    y’’+p(x)y’+q(x)y=0   ②
的两个解.今证它们线性无关.事实上,若它们线性相关,则存在两个不全为零的常数k12使k1(y1-y2)+k2(y2-y3)=0.    ③
设k1≠0,又由题设知y2-y3≠0,于是式③可改写为=常数,矛盾.若k1=0,由y2-y3≠0,故由式③推知k2=0矛盾.这些矛盾证得y1-y2与y2-y3线性无关.于是    Y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3)    ④
为式②的通解,其中C1,C2为任意常数,从而知y=C1(y1-y2)+C2(y2-y3)+y1    ⑤
为式①的通解.
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