设向量组a1,a2,…,am线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量ak(2≤k≤m),使ak能由a1,a2,…,ak-1线性表示。

admin2019-01-19  69

问题 设向量组a1,a2,…,am线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量ak(2≤k≤m),使ak能由a1,a2,…,ak-1线性表示。

选项

答案因为向量组a1,a2,…,am线性相关,由定义知,存在不全为零的数λ1,λ2,…,λm,使 λ1a12a2+…+λmam=0。 因λ12,…,λm不全为零,所以必存在k,使得λk≠0,且λ12,…=λm=0。 当k=1时,代入上式有λ1a1=0。又因为a1≠0,所以λ1=0,与假设矛盾,故后≠1。 当λk≠0且k≥2时,有 ak=[*]ak-1,k≠1, 因此向量ak能由a1,a2,…,ak-1线性表示。

解析
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