设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是_________．

admin2019-05-08 33

问题设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是_________．

选项

答案n

解析解一  因秩(A)=1，由命题2．5．1．5知，A有n－1个零特征值λ₁=λ₁=…=λ_n-1=0，另一特征值为λ_n=a₁₁+a₂₂+…+a_nn=1+1+…+1=n．
解二  由命题2．5．1．3知，λ₁=λ₂=…=λ_n-1=0，λ_n=n·1=n．
注：命题2．5．1．3  设n阶矩阵A的元素全为a，则A的n个特征值为λ₁=na，λ₂=λ₃=…=λ_n=0．
      命题2．5．1．5  设n阶矩阵A=[a_ij]，若秩(A)=1，则A有n－1个零特征值λ₁=λ₂=…=λ_n－1=0，另一个特征值为λ_n=a₁₁+a₂₂+…+a_nn=tr(A)(称为A的迹)．

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