已知实二次型/=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定,矩阵A=(aij)3×3,则( )

admin2020-03-01  31

问题 已知实二次型/=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定,矩阵A=(aij)3×3,则(    )

选项 A、A是正定矩阵。
B、A是可逆矩阵。
C、A是不可逆矩阵。
D、以上结论都不对。

答案B

解析 f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2=xTATAx=(Ax)T(Ax)。因为实二次型f正定,所以对任意x≠0,f>0的充要条件是Ax≠0,即齐次线性方程组Ax=0只有零解,故A是可逆矩阵。所以选B。
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