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设向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示，且R(Ⅰ)=R(Ⅱ)，证明：向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。
设向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示，且R(Ⅰ)=R(Ⅱ)，证明：向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。
admin
2019-03-23
44
问题
设向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示，且R(Ⅰ)=R(Ⅱ)，证明：向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。
选项
答案
设R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=r，且α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
分别为向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)的极大线性无关组。由于向量组(Ⅰ)可以由(Ⅱ)线性表示，故α
1
，α
2
，…，α
r
可以由β
1
，β
2
，…，β
r
线性表示。因此， R(α
1
，α
2
，…，α
r
，β
1
，β
2
，…，β
r
)=R(β
1
，β
2
，…，β
r
)=r。 又α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关，所以α
1
，α
2
，…，α
r
是向量组α
1
，α
2
，…，α
r
，β
1
，β
2
，…，β
r
的极大线性无关组，从而β
1
，β
2
，…，β
r
可以由α
1
，α
2
，…，α
r
线性表示，于是向量组(Ⅱ)可以由α
1
，α
2
，…，α
r
线性表示，所以向量组(Ⅱ)可以由(Ⅰ)线性表示。又已知向量组(Ⅰ)可以由(Ⅱ)线性表示，所以向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/tHV4777K
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