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  3. 设向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示，且R(Ⅰ)=R(Ⅱ)，证明：向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。

设向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示，且R(Ⅰ)=R(Ⅱ)，证明：向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。

admin2019-03-23  132
问题 设向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示，且R(Ⅰ)=R(Ⅱ)，证明：向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。
选项
答案设R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=r，且α1，α2，…，αr与β1，β2，…，βr分别为向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)的极大线性无关组。由于向量组(Ⅰ)可以由(Ⅱ)线性表示，故α1，α2，…，αr可以由β1，β2，…，βr线性表示。因此， R(α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βr)=R(β1，β2，…，βr)=r。 又α1，α2，…，αr线性无关，所以α1，α2，…，αr是向量组α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βr的极大线性无关组，从而β1，β2，…，βr可以由α1，α2，…，αr线性表示，于是向量组(Ⅱ)可以由α1，α2，…，αr线性表示，所以向量组(Ⅱ)可以由(Ⅰ)线性表示。又已知向量组(Ⅰ)可以由(Ⅱ)线性表示，所以向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。
解析
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考研数学二

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