(10年)设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=O．若A的秩为3，则A相似于

admin2017-04-20 39

问题 (10年)设A为4阶实对称矩阵，且A²+A=O．若A的秩为3，则A相似于

选项 A、
B、
C、
D、

答案D

解析设λ为A的特征值且ξ为对应的特征向量，则有A^mξ=λ^mξ(m=1，2，…)，故有
(A²+A)ξ=Oξ=0，
即 (λ²+λ)ξ=0，
因ξ≠0，得λ²+λ=0，从而有λ=0或λ=一1，又因r(A)=3，所以A的非零特征值有3个，有1个特征值为0，即A的全部特征值为：一1，一1，一1，0，所以只有选项(D)正确．

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