在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

admin2018-11-21 50

问题在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

选项

答案若将此曲线记为y=f(x)，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求y"≥0，故曲率K=[*]。再由于过(x，f(x))点的法线方程为X一x+f’(x)[Y一f(x)]=0．它与x轴交点Q的横坐标X₀=x+f’(x)f(x)，所以，线段[*]的长度 [*] 这样，由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件即为 [*] y(1)=1，y’(1)=0．解二阶方程的初值问题[*]得 y=[*](e^x—1+e^1—x)．

解析

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考研数学一

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在上半平面求一条凹曲线(图6．2)，使其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

考研数学一

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