2. 考研
  3. 设f(x)有一阶连续导数，且2∫0x(x+1-t)f’(t)dt-f(x)=x2-1，求f(x)表达式．

设f(x)有一阶连续导数，且2∫0x(x+1-t)f’(t)dt-f(x)=x2-1，求f(x)表达式．

admin2022-07-21  68
问题 设f(x)有一阶连续导数，且2∫0x(x+1-t)f’(t)dt-f(x)=x2-1，求f(x)表达式．
选项
答案将x=0代入等式得f(0)=1．由 ∫0x(x+1-t)f’(t)dt=(x+1)∫0xf’(t)dt-∫0xtf’(t)dt =(x+1)(f(x)-1)-∫0xtf’(t)dt 代入原等式，得2(x+1)[f(x)-1]-2∫0xtf’(t)dt-f(x)=x2-1． 两边关于x求导，得f’(x)+2f(x)=2x+2．因此求得通解为 f(x)=e-2x[∫(2x+2)e2xdx+C]=[*]+x+Ce-2x 由初值f(0)=1，得f(x)=[*]+x+[*]e-2x．
解析
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考研数学二

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