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设f(x)在[0,+∞)内二阶可导,f(0)=-2,f’(0)=1,f’’(x)≥0.证明:f(x)=0在(0, +∞)内有且仅有一个根.
设f(x)在[0,+∞)内二阶可导,f(0)=-2,f’(0)=1,f’’(x)≥0.证明:f(x)=0在(0, +∞)内有且仅有一个根.
admin
2018-01-23
26
问题
设f(x)在[0,+∞)内二阶可导,f(0)=-2,f’(0)=1,f’’(x)≥0.证明:f(x)=0在(0,
+∞)内有且仅有一个根.
选项
答案
因为f’’(x)≥0,所以f’(x)单调不减,当x>0时,f’(x)≥f’(0)=1. 当x>0时,f(x)-f(0)=f’(ξ)x,从而f(x)≥f(0)+x,因为[*][f(0)+x]]=+∞, 所以[*]f(x)=+∞. 由f(x)在[0,+∞)上连续,且f(0)=-2<0,[*]f(x)=-∞,则f(x)=0在(0,+∞) 内至少有一个根,又由f’(x)≥1>0,得方程的根是唯一的.
解析
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考研数学三
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