设n阶矩阵A，B满足AB=aA+bB．其中ab≠0，证明 (1)A-bE和B-aE都可逆． (2)AB=BA．

admin2021-11-09 44

问题设n阶矩阵A，B满足AB=aA+bB．其中ab≠0，证明
(1)A-bE和B-aE都可逆．
(2)AB=BA．

选项

答案(1)A-bE和B-aE都可逆[*](A-bE)(B-aE)可逆．直接计算(A-bE)(B-aE)． (A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE-abE．因为ab≠0，得(A-bE)(B-aE)可逆． (2)利用等式(A-bE)(B-aE)=abE，两边除以ab，得 [*] 于是 [*] 再两边乘ab，得(B-aE)(A-bE)=abE，即 BA-aA-bE+abE=abE． BA=aA+bB=AB．

解析

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