设n阶矩阵A,B满足AB=aA+bB.其中ab≠0,证明 (1)A-bE和B-aE都可逆. (2)AB=BA.

admin2021-11-09  34

问题 设n阶矩阵A,B满足AB=aA+bB.其中ab≠0,证明
(1)A-bE和B-aE都可逆.
(2)AB=BA.

选项

答案(1)A-bE和B-aE都可逆[*](A-bE)(B-aE)可逆.直接计算(A-bE)(B-aE). (A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE-abE. 因为ab≠0,得(A-bE)(B-aE)可逆. (2)利用等式(A-bE)(B-aE)=abE,两边除以ab,得 [*] 于是 [*] 再两边乘ab,得(B-aE)(A-bE)=abE,即 BA-aA-bE+abE=abE. BA=aA+bB=AB.

解析
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