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已知α1,α2及β1,β2均是3维线性无关向量组. 证明存在3维向量δ,δ不能由α1,α2线性表出,也不能由β1,β2线性表出.
已知α1,α2及β1,β2均是3维线性无关向量组. 证明存在3维向量δ,δ不能由α1,α2线性表出,也不能由β1,β2线性表出.
admin
2021-07-27
24
问题
已知α
1
,α
2
及β
1
,β
2
均是3维线性无关向量组.
证明存在3维向量δ,δ不能由α
1
,α
2
线性表出,也不能由β
1
,β
2
线性表出.
选项
答案
α
1
,α
2
是两个3维向量,不可能表出所有3维向量,β
1
,β
2
也一样.若δ不能由α
1
,α
2
线性表出,也不能由β
1
,β
2
线性表出,则δ即为所求.设δ
1
不能由α
1
,α
2
线性表出,但可由β
1
,β
2
线性表出,设为δ
1
=x
1
α
1
+x
2
α
2
;设δ
2
不能由β
1
,β
2
线性表出,但可由α
1
,α
2
线性表出,设δ
2
=y
1
α
1
+y
2
α
2
,则向量δ=δ
1
+δ
2
既不能由α
1
,α
2
线性表出,也不能由β
1
,β
2
线性表出,向量δ即为所求.因若δ=δ
1
+δ
2
=k
1
α
1
+k
2
α
2
,则δ
1
=δ-δ
2
(k
1
-y
1
)α
1
+(k
2
-y
2
)α
2
,这和δ
1
不能由α
1
,α
2
线性表出矛盾(或δ
2
=δ-δ
1
=(k
1
-x
1
)
1
β+(k
2
-x
2
)β
2
,这和δ
2
不能由β
1
,β
2
线性表出矛盾).
解析
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考研数学二
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