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已知α1，α2及β1，β2均是3维线性无关向量组． 证明存在3维向量δ，δ不能由α1，α2线性表出，也不能由β1，β2线性表出．
已知α1，α2及β1，β2均是3维线性无关向量组． 证明存在3维向量δ，δ不能由α1，α2线性表出，也不能由β1，β2线性表出．
admin
2021-07-27
45
问题
已知α
1
，α
2
及β
1
，β
2
均是3维线性无关向量组．
证明存在3维向量δ，δ不能由α
1
，α
2
线性表出，也不能由β
1
，β
2
线性表出．
选项
答案
α
1
，α
2
是两个3维向量，不可能表出所有3维向量，β
1
，β
2
也一样．若δ不能由α
1
，α
2
线性表出，也不能由β
1
，β
2
线性表出，则δ即为所求．设δ
1
不能由α
1
，α
2
线性表出，但可由β
1
，β
2
线性表出，设为δ
1
=x
1
α
1
+x
2
α
2
；设δ
2
不能由β
1
，β
2
线性表出，但可由α
1
，α
2
线性表出，设δ
2
=y
1
α
1
+y
2
α
2
，则向量δ=δ
1
+δ
2
既不能由α
1
，α
2
线性表出，也不能由β
1
，β
2
线性表出，向量δ即为所求．因若δ=δ
1
+δ
2
=k
1
α
1
+k
2
α
2
，则δ
1
=δ-δ
2
(k
1
-y
1
)α
1
+(k
2
-y
2
)α
2
，这和δ
1
不能由α
1
，α
2
线性表出矛盾(或δ
2
=δ-δ
1
=(k
1
-x
1
)
1
β+(k
2
-x
2
)β
2
，这和δ
2
不能由β
1
，β
2
线性表出矛盾)．
解析
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