已知α1,α2及β1,β2均是3维线性无关向量组. 证明存在3维向量δ,δ不能由α1,α2线性表出,也不能由β1,β2线性表出.

admin2021-07-27  24

问题 已知α1,α2及β1,β2均是3维线性无关向量组.
证明存在3维向量δ,δ不能由α1,α2线性表出,也不能由β1,β2线性表出.

选项

答案α1,α2是两个3维向量,不可能表出所有3维向量,β1,β2也一样.若δ不能由α1,α2线性表出,也不能由β1,β2线性表出,则δ即为所求.设δ1不能由α1,α2线性表出,但可由β1,β2线性表出,设为δ1=x1α1+x2α2;设δ2不能由β1,β2线性表出,但可由α1,α2线性表出,设δ2=y1α1+y2α2,则向量δ=δ12既不能由α1,α2线性表出,也不能由β1,β2线性表出,向量δ即为所求.因若δ=δ12=k1α1+k2α2,则δ1=δ-δ2(k1-y11+(k2-y22,这和δ1不能由α1,α2线性表出矛盾(或δ2=δ-δ1=(k1-x1)1β+(k2-x22,这和δ2不能由β1,β2线性表出矛盾).

解析
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